Área encerrada entre dos parábolas

Para determinar el recinto y los límites de integración, primero debemos encontrar los valores de $x$ donde ambas curvas se intersecan. Para ello, igualamos las ecuaciones de las funciones: $$4x^{2} = 4x - x^{2}$$ Agrupamos todos los términos en un miembro de la ecuación para obtener una ecuación de segundo grado: $$4x^{2} + x^{2} - 4x = 0$$ $$5x^{2} - 4x = 0$$ Factorizamos la expresión: $$x(5x - 4) = 0$$ Esto nos da dos soluciones posibles: 1. $x = 0$ 2. $5x - 4 = 0 \implies 5x = 4 \implies x = \dfrac{4}{5} = 0,8$ Los puntos de corte son $(0, 0)$ y $(0,8, 2,56)$. 💡 **Tip:** Para hallar los puntos de corte entre dos funciones $f(x)$ y $g(x)$, siempre resolvemos la ecuación $f(x) = g(x)$. $$\boxed{x_1 = 0, \quad x_2 = 0,8}$$

Dibujamos las dos funciones para visualizar el recinto: - $y = 4x^2$ es una parábola con vértice en $(0,0)$ que abre hacia arriba. - $y = 4x - x^2$ es una parábola que abre hacia abajo, con puntos de corte con el eje $X$ en $x=0$ y $x=4$, y su vértice está en $x=2$. En el intervalo $(0, 0,8)$, la parábola $y = 4x - x^2$ está por encima de $y = 4x^2$. Esto se puede comprobar evaluando un punto intermedio, por ejemplo $x = 0,5$: - $f(0,5) = 4(0,5)^2 = 1$ - $g(0,5) = 4(0,5) - (0,5)^2 = 2 - 0,25 = 1,75$ Como $1,75 \gt 1$, la curva superior es $g(x)$.

El área $A$ del recinto limitado por dos funciones entre sus puntos de corte $a$ y $b$ se calcula mediante la integral definida de la función "techo" menos la función "suelo": $$A = \int_{a}^{b} [g(x) - f(x)] \, dx$$ En nuestro caso: $$A = \int_{0}^{0,8} [ (4x - x^{2}) - (4x^{2}) ] \, dx$$ Simplificamos la expresión antes de integrar: $$A = \int_{0}^{0,8} (4x - 5x^{2}) \, dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área siempre debe ser un valor positivo. Si el resultado te diera negativo, es probable que hayas intercambiado el orden de las funciones en la resta. $$\boxed{A = \int_{0}^{0,8} (4x - 5x^{2}) \, dx}$$

Calculamos la primitiva de la función: $$\int (4x - 5x^{2}) \, dx = 4 \cdot \frac{x^{2}}{2} - 5 \cdot \frac{x^{3}}{3} = 2x^{2} - \frac{5}{3}x^{3}$$ Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** entre los límites $0$ y $0,8$ (utilizaremos la fracción $4/5$ para mayor precisión): $$A = \left[ 2x^{2} - \frac{5}{3}x^{3} \right]_{0}^{4/5}$$ $$A = \left( 2\left(\frac{4}{5}\right)^{2} - \frac{5}{3}\left(\frac{4}{5}\right)^{3} \right) - \left( 2(0)^{2} - \frac{5}{3}(0)^{3} \right)$$ $$A = \left( 2 \cdot \frac{16}{25} - \frac{5}{3} \cdot \frac{64}{125} \right) - 0$$ $$A = \frac{32}{25} - \frac{64}{3 \cdot 25} = \frac{32}{25} - \frac{64}{75}$$ Obtenemos común denominador ($75$): $$A = \frac{96}{75} - \frac{64}{75} = \frac{32}{75}$$ En decimal, esto es aproximadamente $0,4267$ unidades de área. 💡 **Tip:** La Regla de Barrow dice que $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)$, donde $F(x)$ es cualquier primitiva de $f(x)$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{32}{75} \approx 0,4267 \text{ u}^2}$$