Cálculo de parámetros y estudio de extremos en una función polinómica

**a) Hallar $A$, $B$ y $C$.** Para resolver este ejercicio, debemos traducir la información del enunciado en condiciones matemáticas sobre la función $f(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C$ y su derivada $f'(x)$: 1. **Pasa por el punto $(1, 0)$**: Esto significa que $f(1) = 0$. 2. **Tiene un extremo en $x = 0$**: Los extremos relativos ocurren donde la derivada es nula, por lo tanto $f'(0) = 0$. 3. **El valor del extremo en $x = 0$ es 1**: Esto indica que el punto $(0, 1)$ pertenece a la gráfica, es decir, $f(0) = 1$. 💡 **Tip:** Recuerda que si una función tiene un extremo (máximo o mínimo) en un punto $x = a$, se debe cumplir que $f'(a) = 0$ (condición necesaria para funciones derivables).

Calculamos primero la derivada genérica de la función: $$f'(x) = 3x^2 + 2Ax + B$$ Ahora aplicamos las condiciones en el orden más sencillo para despejar las incógnitas: * **A partir de $f(0) = 1$**: $$f(0) = 0^3 + A(0)^2 + B(0) + C = 1 \implies C = 1$$ * **A partir de $f'(0) = 0$**: $$f'(0) = 3(0)^2 + 2A(0) + B = 0 \implies B = 0$$ De momento tenemos que la función es $f(x) = x^3 + Ax^2 + 1$. ✅ **Valores parciales:** $$\boxed{B = 0, \quad C = 1}$$

Utilizamos la última condición pendiente: la gráfica pasa por $(1, 0)$, por lo que $f(1) = 0$. Sustituimos los valores de $B$ y $C$ ya hallados: $$f(1) = 1^3 + A(1)^2 + 0(1) + 1 = 0$$ $$1 + A + 1 = 0$$ $$A + 2 = 0 \implies A = -2$$ Por tanto, la función es: $$f(x) = x^3 - 2x^2 + 1$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{A = -2, \quad B = 0, \quad C = 1}$$

**b) ¿El extremo situado en el punto $x = 0$ es máximo o es mínimo?** Para determinar si un punto crítico es un máximo o un mínimo, podemos utilizar el **criterio de la segunda derivada**. Partimos de la derivada hallada en el apartado anterior con los valores de los parámetros: $$f'(x) = 3x^2 - 4x$$ Calculamos la segunda derivada: $$f''(x) = 6x - 4$$ Ahora evaluamos la segunda derivada en el punto del extremo, $x = 0$: $$f''(0) = 6(0) - 4 = -4$$ Como $f''(0) \lt 0$, la función es cóncava hacia abajo en ese punto, lo que significa que en $x = 0$ hay un **máximo relativo**. 💡 **Tip:** El criterio de la segunda derivada dice que si $f'(a) = 0$: - Si $f''(a) \gt 0$, es un **mínimo**. - Si $f''(a) \lt 0$, es un **máximo**.

También podemos confirmar el resultado analizando el signo de $f'(x) = 3x^2 - 4x = x(3x - 4)$. Los puntos donde $f'(x) = 0$ son $x = 0$ y $x = \frac{4}{3}$. $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 4/3) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ Como la función crece antes de $x = 0$ y decrece después, confirmamos que se trata de un máximo. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{\text{El extremo en } x = 0 \text{ es un máximo relativo}}$$