Simétrico de un punto respecto a una recta

Para hallar el punto simétrico $A'$ de un punto $A$ respecto a una recta $r$, el procedimiento más didáctico consiste en: 1. Hallar un plano $\pi$ que contenga al punto $A$ y sea perpendicular a la recta $r$. 2. Calcular el punto de intersección $M$ entre el plano $\pi$ y la recta $r$. Este punto $M$ será el punto medio del segmento $AA'$. 3. Calcular $A'$ usando la fórmula del punto medio. Comenzamos extrayendo el vector director de la recta $r$, que viene dado por los coeficientes del parámetro $t$: $$r: \begin{cases} x = -1 + 1t \\ y = 3 + 2t \\ z = -1 + 2t \end{cases} \implies \vec{v}_r = (1, 2, 2)$$ Como el plano $\pi$ debe ser perpendicular a $r$, el vector director de la recta será el vector normal del plano: $$\vec{n}_\pi = \vec{v}_r = (1, 2, 2)$$ 💡 **Tip:** Si una recta es perpendicular a un plano, el vector director de la recta y el vector normal del plano son proporcionales (o iguales).

La ecuación general de un plano con vector normal $\vec{n}_\pi = (A, B, C)$ es $Ax + By + Cz + D = 0$. En nuestro caso: $$1x + 2y + 2z + D = 0$$ Para hallar $D$, obligamos a que el plano pase por el punto $A(-3, 1, -7)$: $$1(-3) + 2(1) + 2(-7) + D = 0$$ $$-3 + 2 - 14 + D = 0$$ $$-15 + D = 0 \implies D = 15$$ Por tanto, el plano auxiliar es: $$\boxed{\pi: x + 2y + 2z + 15 = 0}$$

El punto $M$ es la intersección de la recta $r$ y el plano $\pi$. Sustituimos las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación del plano para hallar el valor del parámetro $t$: $$(-1 + t) + 2(3 + 2t) + 2(-1 + 2t) + 15 = 0$$ Desarrollamos y agrupamos términos: $$-1 + t + 6 + 4t - 2 + 4t + 15 = 0$$ $$(1 + 4 + 4)t + (-1 + 6 - 2 + 15) = 0$$ $$9t + 18 = 0 \implies 9t = -18 \implies t = -2$$ Ahora, sustituimos $t = -2$ en las ecuaciones de $r$ para obtener las coordenadas de $M$: $$M: \begin{cases} x = -1 + (-2) = -3 \\ y = 3 + 2(-2) = -1 \\ z = -1 + 2(-2) = -5 \end{cases}$$ El punto de intersección es $M(-3, -1, -5)$. $$\boxed{M(-3, -1, -5)}$$

Como $M$ es el punto medio entre $A(-3, 1, -7)$ y el punto simétrico buscado $A'(x', y', z')$, se debe cumplir: $$M = \frac{A + A'}{2} \implies A' = 2M - A$$ Calculamos componente a componente: $$x' = 2(-3) - (-3) = -6 + 3 = -3$$ $$y' = 2(-1) - 1 = -2 - 1 = -3$$ $$z' = 2(-5) - (-7) = -10 + 7 = -3$$ Por lo tanto, el punto simétrico es $A'(-3, -3, -3)$. 💡 **Tip:** Siempre puedes verificar que $M$ es el punto medio haciendo la media aritmética de las coordenadas de $A$ y $A'$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A'(-3, -3, -3)}$$