Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) Discutir el siguiente sistema $S(a)$ en función de $a$** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & a & -1 \\ 2 & 1 & a \\ 3 & a+1 & -1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & a & -1 & | & 2 \\ 2 & 1 & a & | & 0 \\ 3 & a+1 & -1 & | & a-1 \end{pmatrix}$$ Para discutir el sistema según el Teorema de Rouché-Frobenius, calcularemos el determinante de la matriz $A$ para ver cuándo su rango es máximo.

Calculamos el determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & a & -1 \\ 2 & 1 & a \\ 3 & a+1 & -1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [1 \cdot 1 \cdot (-1) + a \cdot a \cdot 3 + (-1) \cdot 2 \cdot (a+1)] - [(-1) \cdot 1 \cdot 3 + 1 \cdot a \cdot (a+1) + a \cdot 2 \cdot (-1)]$$ $$|A| = [-1 + 3a^2 - 2(a+1)] - [-3 + a(a+1) - 2a]$$ $$|A| = [-1 + 3a^2 - 2a - 2] - [-3 + a^2 + a - 2a]$$ $$|A| = [3a^2 - 2a - 3] - [a^2 - a - 3]$$ $$|A| = 3a^2 - 2a - 3 - a^2 + a + 3 = 2a^2 - a$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el sistema será Compatible Determinado si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $a$ que cambian el rango de la matriz: $$2a^2 - a = 0 \implies a(2a - 1) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: 1. $a = 0$ 2. $2a - 1 = 0 \implies a = \frac{1}{2}$ Analizaremos el sistema para estos valores y para el caso general.

Si $a \neq 0$ y $a \neq \frac{1}{2}$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que: $$\text{rg}(A) = 3 = \text{rg}(A^*) = n^{\circ} \text{ incógnitas}$$ Por el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una **solución única** para cada valor de $a$. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } a \neq 0, \frac{1}{2} \implies \text{SCD (Solución única)}}$$

Si $a = 0$, la matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & | & 2 \\ 2 & 1 & 0 & | & 0 \\ 3 & 1 & -1 & | & -1 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Estudiamos el rango de $A^*$ calculando el determinante de la matriz formada por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (-1 + 0 + 4) - (6 + 0 + 0) = 3 - 6 = -3 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, $\text{rg}(A^*) = 3$. Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } a = 0 \implies \text{SI (No tiene solución)}}$$

Si $a = 1/2$, la matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1/2 & -1 & | & 2 \\ 2 & 1 & 1/2 & | & 0 \\ 3 & 3/2 & -1 & | & -1/2 \end{pmatrix}$$ Como $|A|=0$, $\text{rg}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2: $$\begin{vmatrix} 1 & 1/2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 0; \quad \begin{vmatrix} 1/2 & -1 \\ 1 & 1/2 \end{vmatrix} = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4} \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Estudiamos el rango de $A^*$ usando el determinante de las columnas 2, 3 y 4: $$\begin{vmatrix} 1/2 & -1 & 2 \\ 1 & 1/2 & 0 \\ 3/2 & -1 & -1/2 \end{vmatrix} = (-\frac{1}{8} + 0 - 2) - (\frac{3}{2} + 0 + \frac{1}{2}) = -\frac{17}{8} - 2 = -\frac{33}{8} \neq 0$$ Como $\text{rg}(A) = 2$ y $\text{rg}(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } a = 1/2 \implies \text{SI (No tiene solución)}}$$

**b) ¿Hay solución para $a = 1$? En caso affimativo calcular dicha solución. En caso negativo razonar la respuesta.** Dado que $a = 1$ es un valor diferente de $0$ y $1/2$, el sistema es **Compatible Determinado**, por lo que existe una solución única. Sustituimos $a=1$ en el sistema: $$\begin{cases} x + y - z = 2 \\ 2x + y + z = 0 \\ 3x + 2y - z = 0 \end{cases}$$ Utilizamos la regla de Cramer. El determinante de la matriz es $|A| = 2(1)^2 - 1 = 1$. Calculamos las incógnitas: $$x = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \end{vmatrix}}{1} = 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 2(-1-2) = -6$$ $$y = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & -1 \end{vmatrix}}{1} = -2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = -2(-2-3) = 10$$ $$z = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{vmatrix}}{1} = 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 2(4-3) = 2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = -6, \quad y = 10, \quad z = 2}$$