Área máxima de un triángulo rectángulo

Para resolver este problema de optimización, empezamos definiendo las variables del triángulo rectángulo: Sean $x$ e $y$ las longitudes de los catetos del triángulo. Sabemos que la hipotenusa mide $h = 8$. La función que queremos maximizar es el **área del triángulo ($A$)**, que se calcula como: $$A = \frac{x \cdot y}{2}$$ 💡 **Tip:** En un problema de optimización, siempre debemos identificar la función objetivo (lo que queremos maximizar o minimizar) y la restricción que relaciona las variables.

Como el triángulo es rectángulo, aplicamos el **Teorema de Pitágoras** para relacionar los catetos con la hipotenusa: $$x^2 + y^2 = 8^2 \implies x^2 + y^2 = 64$$ Despejamos una de las variables (por ejemplo, $y$) en función de la otra: $$y = \sqrt{64 - x^2}$$ Sustituimos esta expresión en la fórmula del área para obtener la función área dependiendo solo de $x$: $$A(x) = \frac{x \cdot \sqrt{64 - x^2}}{2}$$ El dominio de esta función, dado que $x$ es un lado y la hipotenusa es 8, es $x \in (0, 8)$. 💡 **Tip:** A veces es más sencillo introducir la $x$ dentro de la raíz para derivar más fácilmente: $A(x) = \frac{1}{2}\sqrt{64x^2 - x^4}$.

Para hallar el máximo, calculamos la derivada $A'(x)$. Utilizaremos la expresión $A(x) = \frac{1}{2}\sqrt{64x^2 - x^4}$: $$A'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{64x^2 - x^4}} \cdot (128x - 4x^3)$$ Simplificamos la expresión: $$A'(x) = \frac{128x - 4x^3}{4\sqrt{64x^2 - x^4}} = \frac{32x - x^3}{\sqrt{x^2(64 - x^2)}} = \frac{x(32 - x^2)}{x\sqrt{64 - x^2}} = \frac{32 - x^2}{\sqrt{64 - x^2}}$$ $$\boxed{A'(x) = \frac{32 - x^2}{\sqrt{64 - x^2}}}$$

Igualamos la derivada a cero para encontrar los posibles extremos relativos: $$A'(x) = 0 \implies \frac{32 - x^2}{\sqrt{64 - x^2}} = 0$$ Esto ocurre cuando el numerador es cero: $$32 - x^2 = 0 \implies x^2 = 32 \implies x = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$ Descartamos la solución negativa $x = -4\sqrt{2}$ porque una longitud debe ser positiva. 💡 **Tip:** $4\sqrt{2} \approx 5,66$, que está dentro de nuestro dominio $(0, 8)$.

Analizamos el signo de $A'(x)$ alrededor de $x = 4\sqrt{2}$ para confirmar que es un máximo. El denominador $\sqrt{64-x^2}$ siempre es positivo en el dominio, así que el signo depende de $32-x^2$. $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 4\sqrt{2}) & 4\sqrt{2} & (4\sqrt{2}, 8)\\\hline A'(x) & + & 0 & -\\\hline A(x) & \text{Creciente} (\nearrow) & \text{Máximo} & \text{Decreciente} (\searrow) \end{array}$$ Como la función crece antes de $4\sqrt{2}$ y decrece después, en **$x = 4\sqrt{2}$ hay un máximo absoluto**.

Finalmente, calculamos el valor del área máxima sustituyendo $x = 4\sqrt{2}$ en la función $A(x)$: Si $x = 4\sqrt{2}$, entonces: $$y = \sqrt{64 - (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{64 - 32} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$ El área máxima es: $$A_{máx} = \frac{4\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}}{2} = \frac{16 \cdot 2}{2} = 16$$ El triángulo de área máxima con hipotenusa fija es siempre el triángulo rectángulo isósceles. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área máxima} = 16 \text{ unidades cuadradas}}$$