Integral indefinida por partes

Para resolver la integral $\int x^{2}e^{-3x}dx$, observamos que tenemos un producto de una función polinómica ($x^2$) por una función exponencial ($e^{-3x}$). En estos casos, el método más adecuado es la **integración por partes**. La fórmula de integración por partes es: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ 💡 **Tip:** Para elegir $u$ solemos usar la regla mnemotécnica **ALPES** (Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/Cosenos). Siguiendo este orden, elegimos el polinomio como $u$ y la exponencial como $dv$.

Definimos las variables para la primera iteración: - $u = x^2 \implies du = 2x \, dx$ - $dv = e^{-3x} \, dx \implies v = \int e^{-3x} \, dx = -\dfrac{1}{3}e^{-3x}$ Aplicamos la fórmula: $$\int x^2 e^{-3x} \, dx = x^2 \left( -\frac{1}{3}e^{-3x} \right) - \int \left( -\frac{1}{3}e^{-3x} \right) 2x \, dx$$ Simplificamos la expresión: $$I = -\frac{1}{3}x^2 e^{-3x} + \frac{2}{3} \int x e^{-3x} \, dx$$ Observamos que la nueva integral $\int x e^{-3x} \, dx$ sigue siendo un producto de un polinomio por una exponencial, por lo que debemos aplicar de nuevo el método de integración por partes.

Ahora resolvemos $I_2 = \int x e^{-3x} \, dx$ aplicando partes nuevamente: - $u = x \implies du = dx$ - $dv = e^{-3x} \, dx \implies v = -\dfrac{1}{3}e^{-3x}$ Aplicamos la fórmula a $I_2$: $$I_2 = x \left( -\frac{1}{3}e^{-3x} \right) - \int \left( -\frac{1}{3}e^{-3x} \right) \, dx$$ $$I_2 = -\frac{1}{3}x e^{-3x} + \frac{1}{3} \int e^{-3x} \, dx$$ Calculamos la última integral inmediata: $$\int e^{-3x} \, dx = -\frac{1}{3}e^{-3x}$$ Sustituimos para obtener $I_2$: $$I_2 = -\frac{1}{3}x e^{-3x} + \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{3}e^{-3x} \right) = -\frac{1}{3}x e^{-3x} - \frac{1}{9}e^{-3x}$$

Sustituimos el resultado de $I_2$ en la expresión general del paso 2: $$I = -\frac{1}{3}x^2 e^{-3x} + \frac{2}{3} \left( -\frac{1}{3}x e^{-3x} - \frac{1}{9}e^{-3x} \right) + C$$ Operamos para quitar los paréntesis: $$I = -\frac{1}{3}x^2 e^{-3x} - \frac{2}{9}x e^{-3x} - \frac{2}{27}e^{-3x} + C$$ Para presentar el resultado de forma más elegante, podemos extraer factor común $-\dfrac{e^{-3x}}{27}$: $$I = -\frac{e^{-3x}}{27} \left( 9x^2 + 6x + 2 \right) + C$$ 💡 **Tip:** No olvides nunca sumar la constante de integración $C$ al finalizar una integral indefinida. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int x^2 e^{-3x} dx = -e^{-3x} \left( \frac{x^2}{3} + \frac{2x}{9} + \frac{2}{27} \right) + C}$$