Estudio de monotonía, extremos y asíntotas de una función exponencial

Para estudiar la monotonía (crecimiento y decrecimiento) y los extremos relativos, primero debemos determinar el dominio de la función y su derivada. La función $f(x) = x^2 e^{-x}$ es el producto de una función polinómica y una exponencial, por lo que su dominio es todo el conjunto de los números reales: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$$ Calculamos la primera derivada $f'(x)$ aplicando la regla del producto: $$f'(x) = (x^2)' \cdot e^{-x} + x^2 \cdot (e^{-x})'$$ $$f'(x) = 2x \cdot e^{-x} + x^2 \cdot (-e^{-x})$$ $$f'(x) = (2x - x^2)e^{-x}$$ Podemos factorizar para facilitar el estudio del signo: $$f'(x) = x(2 - x)e^{-x}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar $e^{g(x)}$ la fórmula es $g'(x)e^{g(x)}$. En este caso, la derivada de $e^{-x}$ es $-e^{-x}$. $$\boxed{f'(x) = (2x - x^2)e^{-x}}$$

Los puntos críticos son aquellos donde $f'(x) = 0$. Como la función exponencial $e^{-x}$ nunca es cero ($e^{-x} > 0$ para todo $x$), resolvemos: $$(2x - x^2) = 0 \implies x(2 - x) = 0$$ Esto nos da dos puntos críticos: **$x = 0$** y **$x = 2$**. Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por estos puntos: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 2) & 2 & (2, +\infty)\\ \hline x & - & 0 & + & + & +\\ (2-x) & + & + & + & 0 & -\\ e^{-x} & + & + & + & + & +\\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \end{array}$$ Analizando los resultados: - En $(-\infty, 0)$, $f'(x) < 0 \implies$ la función es **decreciente**. - En $(0, 2)$, $f'(x) > 0 \implies$ la función es **creciente**. - En $(2, +\infty)$, $f'(x) < 0 \implies$ la función es **decreciente**. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Creciente en } (0, 2) \text{ y decreciente en } (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)}$$

Basándonos en el estudio de la monotonía del paso anterior, aplicamos el criterio de la primera derivada para localizar los extremos: 1. **En $x = 0$**: La función pasa de decreciente a creciente, por lo que hay un **mínimo relativo**. Calculamos su ordenada: $f(0) = 0^2 \cdot e^0 = 0$. Punto: $(0, 0)$. 2. **En $x = 2$**: La función pasa de creciente a decreciente, por lo que hay un **máximo relativo**. Calculamos su ordenada: $f(2) = 2^2 \cdot e^{-2} = \frac{4}{e^2} \approx 0.541$. Punto: $\left(2, \frac{4}{e^2}\right)$. 💡 **Tip:** Un punto es un mínimo si la derivada cambia de $-$ a $+$ y es un máximo si cambia de $+$ a $-$. ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } (0, 0) \text{ y máximo relativo en } \left(2, \frac{4}{e^2}\right)}$$

**Asíntotas Verticales (AV):** Como el dominio es $\mathbb{R}$ y la función es continua en todo su dominio, **no existen asíntotas verticales**. **Asíntotas Horizontales (AH):** Estudiamos los límites en el infinito: 1. Cuando $x \to +\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} x^2 e^{-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$$ Aplicamos la **Regla de L'Hôpital** (derivando numerador y denominador): $$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{e^x} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right] \xrightarrow{\text{L'H}} \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x} = \frac{2}{+\infty} = 0$$ Por tanto, hay una **asíntota horizontal $y = 0$** cuando $x \to +\infty$. 2. Cuando $x \to -\infty$: $$\lim_{x \to -\infty} x^2 e^{-x} = (-\infty)^2 \cdot e^{-(-\infty)} = (+\infty) \cdot (+\infty) = +\infty$$ No hay asíntota horizontal por la izquierda. ✅ **Resultado (AH):** $$\boxed{y = 0 \text{ es asíntota horizontal cuando } x \to +\infty}$$

Ya hemos visto que por la derecha ($x \to +\infty$) hay una asíntota horizontal, por lo que no puede haber oblicua en ese lado. Veamos por la izquierda ($x \to -\infty$): $$m = \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 e^{-x}}{x} = \lim_{x \to -\infty} x e^{-x} = (-\infty) \cdot e^{+\infty} = -\infty$$ Como el límite de la pendiente $m$ no es un valor real finito, **no existe asíntota oblicua**. 💡 **Tip:** Si existe asíntota horizontal en un sentido del infinito, no puede existir asíntota oblicua en ese mismo sentido. ✅ **Resultado final (Asíntotas):** $$\boxed{\text{AV: No hay; AH: } y=0 \text{ (solo para } x \to +\infty); \text{ AO: No hay}}$$