Plano perpendicular a recta y punto simétrico respecto a un plano

**a) Hallar la ecuación del plano perpendicular a $r$ y que contenga a $P$.** Para que un plano sea perpendicular a una recta, el vector director de dicha recta, $\vec{v}_r$, debe ser paralelo al vector normal del plano, $\vec{n}_{\pi'}$. Dada la recta $r$ en ecuaciones paramétricas: $$r: \begin{cases} x = 1 \\ y = t \\ z = t \end{cases}$$ Extraemos el vector director observando los coeficientes del parámetro $t$: $$\vec{v}_r = (0, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** Si una recta está en paramétricas, el vector director son los coeficientes que acompañan al parámetro (en este caso $t$).

Como el plano $\pi'$ es perpendicular a $r$, tomamos como vector normal del plano $\vec{n}_{\pi'} = \vec{v}_r = (0, 1, 1)$. La ecuación general del plano será de la forma: $$0x + 1y + 1z + D = 0 \implies y + z + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que el punto $P(1, 1, 0)$ pertenezca al plano: $$1 + 0 + D = 0 \implies D = -1$$ Por tanto, la ecuación del plano buscado es: $$y + z - 1 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{y + z = 1}$$

**b) Hallar el punto simétrico de $P$ respecto al plano $\pi$.** Para hallar el simétrico $P'$ de un punto $P$ respecto a un plano $\pi$, seguimos tres pasos: 1. Hallar una recta $s$ que pase por $P$ y sea perpendicular a $\pi$. 2. Hallar el punto de intersección $M$ de la recta $s$ con el plano $\pi$ (proyección de $P$). 3. Calcular $P'$ sabiendo que $M$ es el punto medio del segmento $PP'$. El plano es $\pi: x + y + z = 1$, por lo que su vector normal es $\vec{n}_\pi = (1, 1, 1)$. Este será el vector director de nuestra recta $s$: $$s: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 0 + \lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** El punto simétrico no se debe calcular con fórmulas directas, es mejor seguir el proceso geométrico del punto medio para evitar errores.

Calculamos la intersección de la recta $s$ con el plano $\pi$ sustituyendo las expresiones de $x, y, z$ de la recta en la ecuación del plano: $$(1 + \lambda) + (1 + \lambda) + (\lambda) = 1$$ Resolvemos la ecuación para $\lambda$: $$1 + \lambda + 1 + \lambda + \lambda = 1$$ $$3\lambda + 2 = 1 \implies 3\lambda = -1 \implies \lambda = -\frac{1}{3}$$ Sustituimos $\lambda = -1/3$ en las ecuaciones de $s$ para obtener las coordenadas de $M$: $$x_M = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$ $$y_M = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$ $$z_M = -\frac{1}{3}$$ El punto de intersección (proyección de $P$ sobre $\pi$) es $M\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3}\right)$.

Como $M$ es el punto medio entre $P(1, 1, 0)$ y $P'(x', y', z')$, se cumple: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies P' = 2M - P$$ Calculamos componente a componente: $$x' = 2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right) - 1 = \frac{4}{3} - \frac{3}{3} = \frac{1}{3}$$ $$y' = 2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right) - 1 = \frac{4}{3} - \frac{3}{3} = \frac{1}{3}$$ $$z' = 2 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) - 0 = -\frac{2}{3}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P'\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3}\right)}$$