Discusión del rango de una matriz con parámetros

**Determinar el rango de la matriz $A(a)$ según los valores de $a$.** La matriz $A(a)$ tiene una dimensión de $3 \times 4$ (3 filas y 4 columnas). $$A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a + 1 & 1 \\ a & 0 & 0 & 2 \\ 0 & a & 2 & 0 \end{pmatrix}$$ Por definición, el rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes, y no puede superar el menor de sus dimensiones. Por tanto: $$\text{rg}(A) \le \min(3, 4) = 3.$$ El rango será 3 si existe al menos un menor de orden 3 (un determinante de una submatriz $3 \times 3$) que sea distinto de cero. Si todos los menores de orden 3 son nulos, estudiaremos si el rango es 2 o inferior. 💡 **Tip:** El rango de una matriz coincide con el orden del mayor menor no nulo que se pueda extraer de ella.

Seleccionamos las tres primeras columnas para formar un determinante $3 \times 3$ y lo denotamos como $|M_1|$: $$|M_1| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & a+1 \\ a & 0 & 0 \\ 0 & a & 2 \end{vmatrix}$$ Calculamos su valor aplicando la regla de Sarrus o desarrollando por la segunda fila (que tiene dos ceros): $$|M_1| = -a \cdot \begin{vmatrix} 1 & a+1 \\ a & 2 \end{vmatrix} = -a \cdot [1 \cdot 2 - a(a+1)] = -a \cdot (2 - a^2 - a)$$ $$|M_1| = -2a + a^3 + a^2 = a^3 + a^2 - 2a$$ Para saber cuándo este menor es cero, resolvemos $a^3 + a^2 - 2a = 0$: $$a(a^2 + a - 2) = 0$$ Esto nos da la primera solución **$a = 0$**. Para el paréntesis, aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \implies a = 1, \ a = -2$$ Los valores críticos para este menor son **$a = 0, a = 1$ y $a = -2$**. 💡 **Tip:** Si el determinante de un menor de orden $n$ es distinto de cero, el rango de la matriz es al menos $n$.

Si $a \neq 0$, $a \neq 1$ y $a \neq -2$, acabamos de demostrar que el menor $|M_1|$ es distinto de cero ($|M_1| \neq 0$). Como existe un menor de orden 3 no nulo, el rango de la matriz en estos casos es automáticamente el máximo posible. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } a \notin \{0, 1, -2\}, \text{rg}(A) = 3}$$

Si **$a = 0$**, sustituimos en la matriz original: $$A(0) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$ Ya sabemos que el menor formado por las columnas 1, 2 y 3 es nulo. Probamos con otro menor de orden 3, por ejemplo, usando las columnas 2, 3 y 4: $$|M_2| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} - 0 + 0 = 1 \cdot (0 - 4) = -4$$ Como $|M_2| = -4 \neq 0$, existe un menor de orden 3 no nulo para $a=0$. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } a = 0, \text{rg}(A) = 3}$$

Si **$a = 1$**, sustituimos en la matriz: $$A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$ Probamos con un menor de orden 3 que no sea el primero (que ya sabemos que es cero), por ejemplo, las columnas 1, 2 y 4: $$|M_3| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (0+0+1) - (0+2+0) = 1 - 2 = -1$$ Como $|M_3| = -1 \neq 0$, el rango de la matriz sigue siendo 3. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } a = 1, \text{rg}(A) = 3}$$

Si **$a = -2$**, sustituimos en la matriz: $$A(-2) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 \\ -2 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$ Probamos de nuevo con el menor formado por las columnas 1, 2 y 4: $$|M_3| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 0 \end{vmatrix} = (0+0+4) - (0-4+0) = 4 + 4 = 8$$ Como $|M_3| = 8 \neq 0$, el rango de la matriz también es 3 para este valor. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } a = -2, \text{rg}(A) = 3}$$

Tras analizar todos los valores posibles de $a$, hemos comprobado que: 1. Para $a \notin \{0, 1, -2\}$, el rango es 3. 2. Para los valores $a=0$, $a=1$ y $a=-2$, siempre es posible encontrar un menor de orden 3 distinto de cero, por lo que el rango también es 3. Independientemente del valor que tome el parámetro $a$, las filas de la matriz siempre serán linealmente independientes entre sí. ✅ **Resultado Final:** $$\boxed{\text{rg}(A) = 3 \text{ para cualquier valor de } a \in \mathbb{R}}$$