Puntos de corte y área entre una parábola y una función a trozos

**B4) Encuentra los dos puntos en que se cortan las gráficas de las funciones $f(x) = -x^2 + 3x$ y $g(x) = \begin{cases} \frac{x}{2} & x \le 2 \\ 3 - x & x > 2 \end{cases}$. Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas. (3 puntos)** Para encontrar los puntos de corte, debemos igualar $f(x)$ con cada una de las ramas de $g(x)$, teniendo en cuenta sus dominios de definición. **Caso 1: $x \le 2$** Igualamos $f(x)$ con la primera rama de $g(x)$: $$-x^2 + 3x = \frac{x}{2}$$ Multiplicamos todo por 2 para eliminar el denominador: $$-2x^2 + 6x = x \implies -2x^2 + 5x = 0$$ Factorizamos la ecuación de segundo grado: $$x(-2x + 5) = 0$$ Las soluciones son: 1. $x = 0$ (Válida, ya que $0 \le 2$) 2. $-2x + 5 = 0 \implies x = 2,5$ (No válida para esta rama, ya que $2,5 \gt 2$) El primer punto de corte es $x=0$. Calculamos su ordenada: $f(0) = 0$. $$\boxed{P_1(0, 0)}$$

**Caso 2: $x > 2$** Igualamos $f(x)$ con la segunda rama de $g(x)$: $$-x^2 + 3x = 3 - x$$ Reorganizamos los términos para formar una ecuación de segundo grado: $$-x^2 + 4x - 3 = 0 \implies x^2 - 4x + 3 = 0$$ Resolvemos usando la fórmula general: $$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(3)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$$ Las soluciones son: 1. $x = \frac{6}{2} = 3$ (Válida, ya que $3 \gt 2$) 2. $x = \frac{2}{2} = 1$ (No válida para esta rama, ya que $1 \lt 2$) El segundo punto de corte es $x=3$. Calculamos su ordenada: $f(3) = -(3)^2 + 3(3) = 0$. $$\boxed{P_2(3, 0)}$$

El área encerrada viene dada por la integral definida de la diferencia de las funciones entre los puntos de corte $x=0$ y $x=3$. Debemos comprobar cuál función está por encima en el intervalo $(0, 3)$. Tomando un punto intermedio, por ejemplo $x=1$: $f(1) = -1 + 3 = 2$ $g(1) = 1/2 = 0,5$ Como $f(x) \gt g(x)$, el área es: $$A = \int_{0}^{3} [f(x) - g(x)] \, dx$$ Dado que $g(x)$ cambia de definición en $x=2$, dividimos la integral en dos partes: $$A = \int_{0}^{2} \left[ (-x^2 + 3x) - \frac{x}{2} \right] dx + \int_{2}^{3} \left[ (-x^2 + 3x) - (3 - x) \right] dx$$ 💡 **Tip:** Siempre que la función que resta sea compuesta o a trozos, divide la integral en los puntos de salto para facilitar el cálculo.

Simplificamos y resolvemos la primera parte: $$A_1 = \int_{0}^{2} \left( -x^2 + \frac{5}{2}x \right) dx$$ Calculamos la primitiva: $$A_1 = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{4} \right]_{0}^{2}$$ Aplicamos la regla de Barrow: $$A_1 = \left( -\frac{2^3}{3} + \frac{5 \cdot 2^2}{4} \right) - (0) = -\frac{8}{3} + 5 = \frac{-8 + 15}{3} = \frac{7}{3}$$ $$\boxed{A_1 = \frac{7}{3} \text{ u}^2}$$

Simplificamos y resolvemos la segunda parte: $$A_2 = \int_{2}^{3} ( -x^2 + 4x - 3 ) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$A_2 = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right]_{2}^{3}$$ Aplicamos la regla de Barrow: $$A_2 = \left( -\frac{3^3}{3} + 2(3^2) - 3(3) \right) - \left( -\frac{2^3}{3} + 2(2^2) - 3(2) \right)$$ $$A_2 = (-9 + 18 - 9) - \left( -\frac{8}{3} + 8 - 6 \right)$$ $$A_2 = 0 - \left( -\frac{8}{3} + 2 \right) = -\left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{2}{3}$$ $$\boxed{A_2 = \frac{2}{3} \text{ u}^2}$$

Sumamos ambas áreas para obtener el área total: $$A = A_1 + A_2 = \frac{7}{3} + \frac{2}{3} = \frac{9}{3} = 3$$ ✅ **Resultado final:** El área de la región encerrada es de **3 unidades cuadradas**. $$\boxed{\text{Área} = 3 \text{ u}^2}$$