Aplicación del Teorema de los Valores Intermedios

**Demuestra que existe $\alpha \in (2, 3)$ tal que $f(\alpha) = -\frac{3}{2}$, siendo $f(x) = \cos (\pi x) \sqrt[3]{x^3 - 2x^2 - 1}$. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.** Para demostrar la existencia de dicho valor, utilizaremos el **Teorema de los Valores Intermedios (o de Darboux)**. El primer requisito de este teorema es que la función sea continua en el intervalo cerrado $[2, 3]$. Analizamos $f(x)$ como producto de dos funciones: 1. $g(x) = \cos(\pi x)$: Es una función trigonométrica compuesta con un polinomio, por lo que es continua en todo $\mathbb{R}$. 2. $h(x) = \sqrt[3]{x^3 - 2x^2 - 1}$: Es la raíz cúbica de un polinomio. Al ser una raíz de índice impar, está definida y es continua para cualquier valor real, ya que el radicando (un polinomio) es siempre continuo. Al ser $f(x)$ el producto de dos funciones continuas en $\mathbb{R}$, podemos afirmar que: $$\text{f(x) es continua en el intervalo } [2, 3].$$ 💡 **Tip:** Recuerda que las raíces de índice impar no presentan problemas de dominio, a diferencia de las raíces de índice par, cuyo radicando debe ser no negativo.

Calculamos el valor de la función en los extremos del intervalo dado, $x = 2$ y $x = 3$: Para $x = 2$: $$f(2) = \cos(2\pi) \cdot \sqrt[3]{2^3 - 2(2^2) - 1} = \cos(2\pi) \cdot \sqrt[3]{8 - 8 - 1}$$ $$f(2) = 1 \cdot \sqrt[3]{-1} = 1 \cdot (-1) = -1$$ Para $x = 3$: $$f(3) = \cos(3\pi) \cdot \sqrt[3]{3^3 - 2(3^2) - 1} = \cos(3\pi) \cdot \sqrt[3]{27 - 18 - 1}$$ $$f(3) = (-1) \cdot \sqrt[3]{8} = -1 \cdot 2 = -2$$ Obtenemos los valores: $$\boxed{f(2) = -1, \quad f(3) = -2}$$

El **Teorema de los Valores Intermedios** establece que si una función $f$ es continua en un intervalo $[a, b]$, entonces la función toma todos los valores comprendidos entre $f(a)$ y $f(b)$. En nuestro caso: 1. $f(x)$ es continua en $[2, 3]$. 2. Los valores en los extremos son $f(3) = -2$ y $f(2) = -1$. 3. El valor que buscamos es $k = -\frac{3}{2} = -1.5$. Observamos que: $$-2 \lt -1.5 \lt -1 \implies f(3) \lt -\frac{3}{2} \lt f(2)$$ Como el valor $-1.5$ se encuentra comprendido entre $f(2)$ y $f(3)$, por el Teorema de los Valores Intermedios, existe al menos un punto $\alpha \in (2, 3)$ tal que $f(\alpha) = -\frac{3}{2}$. 💡 **Tip:** También se podría aplicar el **Teorema de Bolzano** definiendo una función auxiliar $g(x) = f(x) + \frac{3}{2}$ y comprobando que $g(2)$ y $g(3)$ tienen signos distintos. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Existe } \alpha \in (2, 3) \text{ tal que } f(\alpha) = -\frac{3}{2}}$$