Recta que pasa por un punto y corta a otras dos

Para hallar una recta $l$ que pase por un punto $P$ y corte a otras dos rectas $r$ y $s$, podemos obtenerla como la intersección de dos planos: 1. El plano $\pi_1$ que contiene al punto $P$ y a la recta $r$. 2. El plano $\pi_2$ que contiene al punto $P$ y a la recta $s$. La recta buscada $l$ será la intersección de estos dos planos, ya que al estar en $\pi_1$ cortará a $r$ (o será paralela, lo cual descartaremos) y al estar en $\pi_2$ cortará a $s$. Además, ambos planos contienen a $P$, por lo que la recta también pasará por $P$. 💡 **Tip:** En este tipo de problemas de 'recta que corta a otras dos', el método de los planos auxiliares es el más directo y geométrico.

La recta $r$ viene dada como intersección de dos planos: $r \equiv \begin{cases} \alpha_1: x + y + z - 1 = 0 \\ \alpha_2: x + y + 1 = 0 \end{cases}$ Podemos usar el haz de planos que pasan por $r$: $(x+y+z-1) + k(x+y+1) = 0$. Sustituimos el punto $P(-4, 0, 5)$ en la ecuación del haz para encontrar el plano que lo contiene: $$(-4 + 0 + 5 - 1) + k(-4 + 0 + 1) = 0$$ $$0 + k(-3) = 0 \implies k = 0$$ Como $k=0$, el plano $\pi_1$ coincide con el primer plano de la recta $r$: $$\pi_1 \equiv x + y + z - 1 = 0$$ Esto significa que el punto $P$ ya pertenecía a uno de los planos que definen a $r$. ✅ **Plano $\pi_1$:** $$\boxed{x + y + z - 1 = 0}$$

Extraemos la información de la recta $s$: - Punto de la recta: $S = (2, 3, 0)$ - Vector director: $\vec{v}_s = (2, 1, 1)$ El plano $\pi_2$ vendrá determinado por el punto $P(-4, 0, 5)$ y los vectores $\vec{v}_s$ y $\vec{PS}$: $$\vec{PS} = S - P = (2 - (-4), 3 - 0, 0 - 5) = (6, 3, -5)$$ La ecuación del plano $\pi_2$ es: $$\begin{vmatrix} x - (-4) & y - 0 & z - 5 \\ 2 & 1 & 1 \\ 6 & 3 & -5 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos el determinante: $$(x+4) \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -5 \end{vmatrix} - y \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 6 & -5 \end{vmatrix} + (z-5) \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 6 & 3 \end{vmatrix} = 0$$ $$(x+4)(-5-3) - y(-10-6) + (z-5)(6-6) = 0$$ $$-8(x+4) + 16y + 0 = 0 \implies -8x - 32 + 16y = 0$$ Simplificamos dividiendo por $-8$: $$\pi_2 \equiv x - 2y + 4 = 0$$ ✅ **Plano $\pi_2$:** $$\boxed{x - 2y + 4 = 0}$$

La recta $l$ es la intersección de $\pi_1$ y $\pi_2$: $$l \equiv \begin{cases} x + y + z - 1 = 0 \\ x - 2y + 4 = 0 \end{cases}$$ Para escribirla en forma continua, necesitamos su vector director $\vec{d}_l$. Lo calculamos mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos: $$\vec{d}_l = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \end{vmatrix}$$ Calculamos por Sarrus: $$\vec{d}_l = \vec{i}(0 - (-2)) - \vec{j}(0 - 1) + \vec{k}(-2 - 1) = 2\vec{i} + 1\vec{j} - 3\vec{k}$$ $$\vec{d}_l = (2, 1, -3)$$ Usando el punto $P(-4, 0, 5)$ y el vector $\vec{d}_l = (2, 1, -3)$, la ecuación continua es: $$\frac{x - (-4)}{2} = \frac{y - 0}{1} = \frac{z - 5}{-3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la forma continua es $\frac{x-x_0}{v_x} = \frac{y-y_0}{v_y} = \frac{z-z_0}{v_z}$. ✅ **Resultado Final:** $$\boxed{\frac{x + 4}{2} = y = \frac{z - 5}{-3}}$$