Cálculo de determinante mediante propiedades

Para calcular $|A^2 \cdot B^t|$, aplicamos las propiedades de los determinantes: 1. El determinante de un producto es el producto de los determinantes: $|M \cdot N| = |M| \cdot |N|$. 2. El determinante de la traspuesta es igual al determinante de la matriz original: $|M^t| = |M|$. 3. El determinante de una potencia es la potencia del determinante: $|M^n| = |M|^n$. Por tanto: $$|A^2 \cdot B^t| = |A^2| \cdot |B^t| = |A|^2 \cdot |B|$$ Como sabemos que $|A| = -1$, el cálculo se reduce a: $$|A^2 \cdot B^t| = (-1)^2 \cdot |B| = 1 \cdot |B| = |B|$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el determinante es un número. Las propiedades nos permiten simplificar operaciones matriciales complejas antes de calcular valores numéricos.

Escribimos el determinante de la matriz $B$ y aplicamos propiedades por filas para simplificarlo: $$|B| = \begin{vmatrix} x & y & z \\ 2a - x & 2b - y & 2c - z \\ a + 1 & b - 1 & c - 2 \end{vmatrix}$$ Sumamos la primera fila a la segunda ($F_2 \to F_2 + F_1$). El determinante no varía si a una fila le sumamos una combinación lineal de las demás: $$|B| = \begin{vmatrix} x & y & z \\ (2a - x) + x & (2b - y) + y & (2c - z) + z \\ a + 1 & b - 1 & c - 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x & y & z \\ 2a & 2b & 2c \\ a + 1 & b - 1 & c - 2 \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Busca siempre eliminar términos que aparecen en varias filas para simplificar la expresión.

Extraemos el factor común $2$ de la segunda fila: $$|B| = 2 \cdot \begin{vmatrix} x & y & z \\ a & b & c \\ a + 1 & b - 1 & c - 2 \end{vmatrix}$$ Ahora, restamos la segunda fila a la tercera ($F_3 \to F_3 - F_2$): $$|B| = 2 \cdot \begin{vmatrix} x & y & z \\ a & b & c \\ (a + 1) - a & (b - 1) - b & (c - 2) - c \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} x & y & z \\ a & b & c \\ 1 & -1 & -2 \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Si multiplicamos una fila por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número.

Queremos que el determinante resultante se parezca al de $A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \\ a & b & c \\ x & y & z \end{pmatrix}$. En el determinante obtenido, la tercera fila es $(1, -1, -2)$. Si extraemos el factor $-1$ de esta fila: $$|B| = 2 \cdot (-1) \cdot \begin{vmatrix} x & y & z \\ a & b & c \\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -2 \cdot \begin{vmatrix} x & y & z \\ a & b & c \\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix}$$ Para llegar a la forma de $A$, debemos intercambiar la primera fila ($F_1$) con la tercera ($F_3$). Al intercambiar dos filas, el signo del determinante cambia: $$|B| = (-2) \cdot (-1) \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 & 2 \\ a & b & c \\ x & y & z \end{vmatrix} = 2 \cdot |A|$$ 💡 **Tip:** El orden de las filas es crucial. Cada intercambio de filas multiplica el determinante por $-1$.

Sustituimos el valor de $|A| = -1$ en la expresión obtenida para $|B|$: $$|B| = 2 \cdot (-1) = -2$$ Como establecimos en el primer paso que $|A^2 \cdot B^t| = |B|$, el resultado final es: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{|A^2 \cdot B^t| = -2}$$