Asíntotas y extremos relativos de una función racional

Para estudiar las asíntotas y los extremos de la función $f(x) = \dfrac{2x^2 + 6}{x - 1}$, primero debemos identificar su dominio. Al ser una función racional, el dominio son todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador: $$x - 1 = 0 \implies x = 1$$ Por lo tanto, el dominio es: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{1\}$$ 💡 **Tip:** El dominio es fundamental porque los puntos donde la función no existe son candidatos a albergar asíntotas verticales.

Las asíntotas verticales se encuentran en los puntos donde el denominador se anula y el límite de la función tiende a infinito. Calculamos el límite en $x = 1$: $$\lim_{x \to 1} \frac{2x^2 + 6}{x - 1} = \frac{2(1)^2 + 6}{1 - 1} = \frac{8}{0} = \infty$$ Como el límite es infinito, existe una asíntota vertical en la recta de ecuación: $$\boxed{x = 1}$$ 💡 **Tip:** Aunque el enunciado no pide la posición relativa, recuerda que si el límite es $\infty$ (positivo o negativo), la recta $x=a$ es una asíntota vertical.

Primero comprobamos si existen asíntotas horizontales calculando el límite en el infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2 + 6}{x - 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} 2x = \pm\infty$$ Al ser el límite infinito, **no existen asíntotas horizontales**. Como el grado del numerador es exactamente uno más que el grado del denominador, buscamos una asíntota oblicua del tipo $y = mx + n$: 1. **Cálculo de la pendiente ($m$):** $$m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2 + 6}{x^2 - x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2}{x^2} = 2$$ 2. **Cálculo de la ordenada en el origen ($n$):** $$n = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \pm\infty} \left( \frac{2x^2 + 6}{x - 1} - 2x \right)$$ $$n = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2 + 6 - 2x(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2 + 6 - 2x^2 + 2x}{x - 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x + 6}{x - 1} = 2$$ La ecuación de la asíntota oblicua es: $$\boxed{y = 2x + 2}$$ 💡 **Tip:** Si el grado del numerador es $n$ y el del denominador es $n-1$, siempre habrá una asíntota oblicua.

Para hallar los extremos relativos, calculamos la derivada de la función utilizando la regla del cociente: $$y' = \frac{(2x^2 + 6)' \cdot (x - 1) - (2x^2 + 6) \cdot (x - 1)'}{(x - 1)^2}$$ $$y' = \frac{4x(x - 1) - (2x^2 + 6)(1)}{(x - 1)^2}$$ $$y' = \frac{4x^2 - 4x - 2x^2 - 6}{(x - 1)^2} = \frac{2x^2 - 4x - 6}{(x - 1)^2}$$ Simplificamos la expresión factorizando el numerador: $$y' = \frac{2(x^2 - 2x - 3)}{(x - 1)^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla de derivación del cociente: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Los extremos relativos se encuentran entre los puntos donde la derivada es igual a cero: $$y' = 0 \implies 2x^2 - 4x - 6 = 0 \implies x^2 - 2x - 3 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$$ Obtenemos dos valores: $$x_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1$$ Calculamos sus ordenadas correspondientes en la función original $y = f(x)$: - Para $x = -1$: $y = \frac{2(-1)^2 + 6}{-1 - 1} = \frac{8}{-2} = -4$ - Para $x = 3$: $y = \frac{2(3)^2 + 6}{3 - 1} = \frac{24}{2} = 12$ Puntos candidatos: **$(-1, -4)$** y **$(3, 12)$**.

Analizamos el signo de la derivada $y'$ en los intervalos definidos por los puntos críticos y el punto de discontinuidad del dominio ($x=1$). Notemos que el denominador $(x-1)^2$ siempre es positivo en el dominio, por lo que el signo de $y'$ depende solo del numerador $2(x-3)(x+1)$. $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, 1) & 1 & (1, 3) & 3 & (3, +\infty) \\\hline y' & + & 0 & - & \nexists & - & 0 & + \\\hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \nexists & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ **Conclusión:** - En $x = -1$ la función pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un **Máximo Relativo**. - En $x = 3$ la función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **Mínimo Relativo**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Máximo Relativo: } (-1, -4) \quad \text{Mínimo Relativo: } (3, 12)}$$ 💡 **Tip:** No olvides incluir el punto de discontinuidad ($x=1$) en el estudio del signo de la derivada, ya que la monotonía puede cambiar a ambos lados de una asíntota.