Cálculo de integrales indefinidas

**$$\int e^{\cos 3x} \sin 3x dx$$ (1 punto)** Observamos que la integral tiene una estructura similar a la de una función exponencial compuesta: $\int e^{f(x)} f'(x) dx = e^{f(x)} + C$. En nuestro caso: - La función del exponente es $f(x) = \cos 3x$. - Su derivada es $f'(x) = -\sin(3x) \cdot 3 = -3 \sin 3x$. En el integrando ya disponemos de $\sin 3x$, por lo que solo necesitamos ajustar la constante $-3$ para tener la derivada completa. 💡 **Tip:** Recuerda la regla de la cadena para derivar: la derivada de $\cos(u)$ es $-u'\sin(u)$.

Para obtener la derivada del exponente dentro de la integral, multiplicamos por $-3$ dentro y dividimos por $-3$ fuera de la integral (usando la linealidad de la integral): $$\int e^{\cos 3x} \sin 3x dx = -\frac{1}{3} \int e^{\cos 3x} (-3 \sin 3x) dx$$ Ahora que tenemos la forma $\int e^{f(x)} f'(x) dx$, la integral es inmediata: $$-\frac{1}{3} e^{\cos 3x} + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int e^{\cos 3x} \sin 3x dx = -\frac{1}{3} e^{\cos 3x} + C}$$

**$$\int \frac{\sin 2x}{1 + \cos^2 x} dx$$ (1 punto)** Analizamos la relación entre el numerador y el denominador. Buscamos si el numerador es, o puede ser, la derivada del denominador para aplicar la fórmula de la integral logarítmica: $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln |f(x)| + C$. Sea $f(x) = 1 + \cos^2 x$. Calculamos su derivada: $$f'(x) = 0 + 2 \cos x \cdot (-\sin x) = -2 \sin x \cos x$$ 💡 **Tip:** Recuerda la identidad trigonométrica del ángulo doble: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$. Por lo tanto, la derivada del denominador es exactamente **$-\sin 2x$**.

Como el numerador es $\sin 2x$ y la derivada del denominador es $-\sin 2x$, ajustamos el signo negativo: $$\int \frac{\sin 2x}{1 + \cos^2 x} dx = - \int \frac{-\sin 2x}{1 + \cos^2 x} dx$$ Al tener ya la forma $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx$, la solución es el logaritmo neperiano del valor absoluto del denominador: $$- \ln |1 + \cos^2 x| + C$$ Dado que $\cos^2 x \ge 0$ para cualquier $x$, la expresión $1 + \cos^2 x$ siempre es positiva ($1 + \cos^2 x \ge 1$), por lo que podemos omitir el valor absoluto. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int \frac{\sin 2x}{1 + \cos^2 x} dx = -\ln(1 + \cos^2 x) + C}$$