Vértices y centro de un rombo en el espacio

**A2) Sean los puntos $P = (7, 4, 2)$, $Q \equiv (1, 2, -2)$ y $R \equiv (2, 1, -3)$. Uno de ellos es el centro de un rombo, y los otros dos, dos vértices. Halla los dos vértices restantes. (2 puntos)** En un rombo, el centro es el punto donde se cortan las dos diagonales. Estas diagonales cumplen dos propiedades fundamentales: 1. Se bisecan mutuamente (el centro es el punto medio de cada diagonal). 2. Son perpendiculares entre sí. Llamemos $C$ al centro y $V_1, V_2$ a los dos vértices dados. Existen dos posibilidades: - Que $V_1$ y $V_2$ sean **vértices opuestos**: En este caso, el centro $C$ debe ser el punto medio del segmento $V_1V_2$. - Que $V_1$ y $V_2$ sean **vértices contiguos**: En este caso, los vectores que unen el centro con cada vértice, $\vec{CV_1}$ y $\vec{CV_2}$, deben ser perpendiculares (su producto escalar debe ser cero). 💡 **Tip:** Recuerda que dos vectores son perpendiculares si y solo si su producto escalar es nulo: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

Probamos primero si el centro es el punto medio de alguna pareja (vértices opuestos): - Punto medio de $PQ$: $\left(\frac{7+1}{2}, \frac{4+2}{2}, \frac{2-2}{2}\right) = (4, 3, 0) \neq R$. - Punto medio de $PR$: $\left(\frac{7+2}{2}, \frac{4+1}{2}, \frac{2-3}{2}\right) = (4.5, 2.5, -0.5) \neq Q$. - Punto medio de $QR$: $\left(\frac{1+2}{2}, \frac{2+1}{2}, \frac{-2-3}{2}\right) = (1.5, 1.5, -2.5) \neq P$. Como ninguna pareja tiene al tercer punto como punto medio, los puntos dados son el **centro y dos vértices contiguos**. Probamos cuál es el centro mediante perpendicularidad: - **Si el centro es $Q$**, los vectores $\vec{QP}$ y $\vec{QR}$ deben ser perpendiculares: $\vec{QP} = P - Q = (7-1, 4-2, 2-(-2)) = (6, 2, 4)$ $\vec{QR} = R - Q = (2-1, 1-2, -3-(-2)) = (1, -1, -1)$ Calculamos el producto escalar: $$\vec{QP} \cdot \vec{QR} = (6 \cdot 1) + (2 \cdot (-1)) + (4 \cdot (-1)) = 6 - 2 - 4 = 0.$$ Como el producto escalar es cero, los vectores son perpendiculares. Por tanto, **el centro del rombo es $Q(1, 2, -2)$** y los vértices dados son $P$ y $R$. ✅ **Centro identificado:** $$\boxed{C = Q = (1, 2, -2)}$$

Sea $P'$ el vértice opuesto a $P$. El centro $Q$ es el punto medio del segmento $PP'$. Si $P' = (x, y, z)$: $$Q = \frac{P + P'}{2} \implies (1, 2, -2) = \left(\frac{7+x}{2}, \frac{4+y}{2}, \frac{2+z}{2}\right)$$ Resolvemos componente a componente: 1. $\frac{7+x}{2} = 1 \implies 7+x = 2 \implies x = -5$ 2. $\frac{4+y}{2} = 2 \implies 4+y = 4 \implies y = 0$ 3. $\frac{2+z}{2} = -2 \implies 2+z = -4 \implies z = -6$ El primer vértice restante es **$P'(-5, 0, -6)$**.

Sea $R'$ el vértice opuesto a $R$. El centro $Q$ es el punto medio del segmento $RR'$. Si $R' = (x, y, z)$: $$Q = \frac{R + R'}{2} \implies (1, 2, -2) = \left(\frac{2+x}{2}, \frac{1+y}{2}, \frac{-3+z}{2}\right)$$ Resolvemos componente a componente: 1. $\frac{2+x}{2} = 1 \implies 2+x = 2 \implies x = 0$ 2. $\frac{1+y}{2} = 2 \implies 1+y = 4 \implies y = 3$ 3. $\frac{-3+z}{2} = -2 \implies -3+z = -4 \implies z = -1$ El segundo vértice restante es **$R'(0, 3, -1)$**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{V_3 = (-5, 0, -6) \quad \text{y} \quad V_4 = (0, 3, -1)}$$