Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**A1) Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & a+4 & a+1 \\ 0 & -(a+2) & a^2+3a+2 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & a+4 & a+1 & 0 \\ 0 & -(a+2) & a^2+3a+2 & a+4 \end{array}\right)$$ Notamos que el elemento $a^2+3a+2$ de la matriz se puede factorizar como $(a+1)(a+2)$ para facilitar los cálculos posteriores. 💡 **Tip:** Factorizar expresiones polinómicas dentro de la matriz simplifica enormemente el cálculo del determinante y la detección de valores críticos.

Para estudiar el rango de $A$, calculamos su determinante mediante la regla de Sarrus o desarrollo por filas/columnas. En este caso, aplicamos Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & a+4 & a+1 \\ 0 & -(a+2) & (a+1)(a+2) \end{vmatrix}$$ $$|A| = 1 \cdot (a+4)(a+1)(a+2) + 0 + 0 - [0 + (-(a+2))(a+1) + 2 \cdot 1 \cdot (a+1)(a+2)]$$ $$|A| = (a+4)(a+1)(a+2) + (a+1)(a+2) - 2(a+1)(a+2)$$ Sacamos factor común $(a+1)(a+2)$: $$|A| = (a+1)(a+2) [ (a+4) + 1 - 2 ] = (a+1)(a+2)(a+3)$$ Igualamos a cero para hallar los valores críticos: $$(a+1)(a+2)(a+3) = 0 \implies a = -1, \, a = -2, \, a = -3$$ ✅ **Valores críticos:** $$\boxed{a = -1, \, a = -2, \, a = -3}$$

Analizamos los rangos de $A$ y $A^*$ para los distintos valores de $a$: - **Caso 1: $a \neq -1, -2, -3$** En este caso, $|A| \neq 0$, por lo que $\text{rg}(A) = 3$. Como el rango máximo de la matriz ampliada es 3, $\text{rg}(A^*) = 3$. Al coincidir con el número de incógnitas, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. - **Caso 2: $a = -1$** $A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 3 \end{array}\right)$. El $\text{rg}(A) = 2$ (pues $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$). Sin embargo, el menor formado por las columnas 1, 2 y 4 de $A^*$ es $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 9 - 1 - 6 = 2 \neq 0$. Por tanto, $\text{rg}(A^*) = 3$. El sistema es **Incompatible (SI)**. - **Caso 3: $a = -2$** $A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right)$. La última fila indica $0 = 2$, lo cual es imposible. El $\text{rg}(A) = 2$ y $\text{rg}(A^*) = 3$. El sistema es **Incompatible (SI)**. - **Caso 4: $a = -3$** $A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{array}\right)$. Sabemos $\text{rg}(A) = 2$. Comprobamos el rango de $A^*$ con el menor de las columnas 1, 2 y 4: $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1+0+1) - (0+0+2) = 0$. Como todos los menores de orden 3 son 0, $\text{rg}(A^*) = 2$. El sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius establece que si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = n$ (nº incógnitas) es SCD; si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) < n$ es SCI; y si $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$ es SI.

Utilizamos la regla de Cramer para resolver el sistema en función de $a$. Sabemos que $|A| = (a+1)(a+2)(a+3)$. **Para $x$:** $|A_x| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & a+4 & a+1 \\ a+4 & -(a+2) & (a+1)(a+2) \end{vmatrix} = (a+1)(a+3)(a+6)$ $$x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{(a+1)(a+3)(a+6)}{(a+1)(a+2)(a+3)} = \frac{a+6}{a+2}$$ **Para $y$:** $|A_y| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & a+1 \\ 0 & a+4 & (a+1)(a+2) \end{vmatrix} = -2(a+1)(a+3)$ $$y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{-2(a+1)(a+3)}{(a+1)(a+2)(a+3)} = \frac{-2}{a+2}$$ **Para $z$:** $|A_z| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & a+4 & 0 \\ 0 & -(a+2) & a+4 \end{vmatrix} = (a+2)(a+3)$ $$z = \frac{|A_z|}{|A|} = \frac{(a+2)(a+3)}{(a+1)(a+2)(a+3)} = \frac{1}{a+1}$$ ✅ **Resultado (SCD):** $$\boxed{x = \frac{a+6}{a+2}, \, y = \frac{-2}{a+2}, \, z = \frac{1}{a+1}}$$

Para $a = -3$, el sistema se reduce a dos ecuaciones independientes (pues el rango es 2): $$\begin{cases} x + 2y = 1 \\ x + y - 2z = 0 \end{cases}$$ Tomamos $z = \lambda$ como parámetro real $(\lambda \in \mathbb{R})$: 1. De la segunda ecuación: $x + y = 2\lambda$ 2. De la primera ecuación: $x = 1 - 2y$ Sustituimos $x$ en la primera simplificada: $(1 - 2y) + y = 2\lambda \implies 1 - y = 2\lambda \implies y = 1 - 2\lambda$ Ahora hallamos $x$: $x = 1 - 2(1 - 2\lambda) = 1 - 2 + 4\lambda = -1 + 4\lambda$ ✅ **Resultado (SCI):** $$\boxed{\begin{cases} x = -1 + 4\lambda \\ y = 1 - 2\lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$