Extremos relativos y puntos de inflexión de una función polinómica

**Halla los extremos relativos y los puntos de inflexión de la función $f(x) = x^4 - x^2$.** Para hallar los extremos relativos (máximos y mínimos), primero debemos calcular la primera derivada de la función e igualarla a cero para encontrar los puntos críticos. Dada $f(x) = x^4 - x^2$, derivamos aplicando la regla de la potencia: $$f'(x) = 4x^3 - 2x$$ Ahora, resolvemos $f'(x) = 0$ para encontrar los valores de $x$ donde la pendiente es horizontal: $$4x^3 - 2x = 0 \implies 2x(2x^2 - 1) = 0$$ De aquí obtenemos tres soluciones: 1. $2x = 0 \implies x = 0$ 2. $2x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ 💡 **Tip:** Recuerda que los puntos críticos son candidatos a ser extremos relativos. Para confirmarlos, estudiaremos el signo de la primera derivada o usaremos la segunda derivada. $$\boxed{x_1 = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = \frac{\sqrt{2}}{2}}$$

Para clasificar los puntos críticos, analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por dichos puntos: $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}) & -\frac{\sqrt{2}}{2} & (-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0) & 0 & (0, \frac{\sqrt{2}}{2}) & \frac{\sqrt{2}}{2} & (\frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty) \\\hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\ \text{Función} & \searrow & \min & \nearrow & \max & \searrow & \min & \nearrow \end{array}$$ Calculamos las ordenadas de los puntos sustituyendo en $f(x)$: - Para $x = 0$: $f(0) = 0^4 - 0^2 = 0 \implies \mathbf{(0, 0)}$ - Para $x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$: $f(\pm \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} \implies \mathbf{(\pm \frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{1}{4})}$ ✅ **Resultado (Extremos relativos):** $$\boxed{\text{Mínimos relativos en } (-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{1}{4}) \text{ y } (\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{1}{4}). \text{ Máximo relativo en } (0, 0)}$$

Para hallar los puntos de inflexión, necesitamos la segunda derivada $f''(x)$: $$f''(x) = (4x^3 - 2x)' = 12x^2 - 2$$ Igualamos la segunda derivada a cero para encontrar los candidatos a puntos de inflexión: $$12x^2 - 2 = 0 \implies 12x^2 = 2 \implies x^2 = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$$ $$x = \pm \sqrt{\frac{1}{6}} = \pm \frac{1}{\sqrt{6}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{6}$$ 💡 **Tip:** Un punto de inflexión es aquel donde la función cambia su curvatura (de cóncava a convexa o viceversa). Esto ocurre cuando $f''(x)$ cambia de signo.

Analizamos el signo de $f''(x)$ en los intervalos definidos por $x = \pm \frac{\sqrt{6}}{6}$: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -\frac{\sqrt{6}}{6}) & -\frac{\sqrt{6}}{6} & (-\frac{\sqrt{6}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{6}) & \frac{\sqrt{6}}{6} & (\frac{\sqrt{6}}{6}, +\infty) \\\hline f''(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \text{Curvatura} & \cup & \text{P.I.} & \cap & \text{P.I.} & \cup \end{array}$$ Como hay cambio de signo en $f''(x)$ en ambos puntos, son puntos de inflexión. Calculamos sus ordenadas: $$f(\pm \frac{\sqrt{6}}{6}) = (\frac{1}{6})^2 - \frac{1}{6} = \frac{1}{36} - \frac{6}{36} = -\frac{5}{36}$$ ✅ **Resultado (Puntos de inflexión):** $$\boxed{\text{Puntos de inflexión en } (-\frac{\sqrt{6}}{6}, -\frac{5}{36}) \text{ y } (\frac{\sqrt{6}}{6}, -\frac{5}{36})}$$