Cálculo de integrales indefinidas

**B3) Calcula las siguientes integrales indefinidas: $\int \frac{x + 1}{x^2 + 3x - 4} dx$ (1 punto)** Estamos ante una **integral racional** donde el grado del numerador ($1$) es menor que el grado del denominador ($2$). El primer paso es encontrar las raíces del denominador para factorizarlo: $$x^2 + 3x - 4 = 0$$ Usamos la fórmula general: $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2}$$ Las raíces son: - $x_1 = \frac{2}{2} = 1$ - $x_2 = \frac{-8}{2} = -4$ Por tanto, el denominador se factoriza como: $x^2 + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4)$. 💡 **Tip:** Cuando el denominador tiene raíces reales distintas, descomponemos la fracción en fracciones simples.

Planteamos la descomposición de la fracción: $$\frac{x + 1}{(x - 1)(x + 4)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 4}$$ Multiplicamos toda la ecuación por el denominador común $(x-1)(x+4)$: $$x + 1 = A(x + 4) + B(x - 1)$$ Para hallar $A$ y $B$, damos a $x$ los valores de las raíces: - Si $x = 1$: $1 + 1 = A(1 + 4) \implies 2 = 5A \implies \mathbf{A = \frac{2}{5}}$ - Si $x = -4$: $-4 + 1 = B(-4 - 1) \implies -3 = -5B \implies \mathbf{B = \frac{3}{5}}$ La integral se transforma en: $$\int \frac{x + 1}{x^2 + 3x - 4} dx = \int \left( \frac{2/5}{x - 1} + \frac{3/5}{x + 4} \right) dx$$

Aplicamos la linealidad de la integral y resolvemos las integrales de tipo logarítmico: $$\frac{2}{5} \int \frac{1}{x - 1} dx + \frac{3}{5} \int \frac{1}{x + 4} dx = \frac{2}{5} \ln|x - 1| + \frac{3}{5} \ln|x + 4| + C$$ ✅ **Resultado de la primera integral:** $$\boxed{\int \frac{x + 1}{x^2 + 3x - 4} dx = \frac{2}{5} \ln|x - 1| + \frac{3}{5} \ln|x + 4| + C}$$

**$\int \frac{e^x}{1 + 2e^x + e^{2x}} dx$ (1 punto)** Observamos el denominador: $1 + 2e^x + e^{2x}$. Esto es un **trinomio cuadrado perfecto**, ya que: $$1 + 2e^x + (e^x)^2 = (1 + e^x)^2$$ Reescribimos la integral: $$\int \frac{e^x}{(1 + e^x)^2} dx$$ Notamos que el numerador $e^x$ es exactamente la derivada de la base de la potencia del denominador $1 + e^x$. Esto sugiere que es una integral casi inmediata de tipo potencia. 💡 **Tip:** Recuerda que $\int f'(x) \cdot [f(x)]^n dx = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} + C$ para $n \neq -1$.

Escribimos la fracción como una potencia de exponente negativo para aplicar la regla directamente: $$\int e^x (1 + e^x)^{-2} dx$$ Aquí $f(x) = 1 + e^x$ y $f'(x) = e^x$. Aplicamos la fórmula: $$\int e^x (1 + e^x)^{-2} dx = \frac{(1 + e^x)^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{(1 + e^x)^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{1 + e^x} + C$$ ✅ **Resultado de la segunda integral:** $$\boxed{\int \frac{e^x}{1 + 2e^x + e^{2x}} dx = -\frac{1}{1 + e^x} + C}$$