Ecuación de la perpendicular común a dos rectas

Para trabajar con la recta $r$, que viene dada como intersección de dos planos, necesitamos obtener su vector director $\vec{v_r}$ y un punto $P_r$. El vector director se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales a los planos: $$\vec{v_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{v_r} = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 1)\mathbf{i} - (1 \cdot 1 - 2 \cdot 1)\mathbf{j} + (1 \cdot 0 - 2 \cdot 1)\mathbf{k} = 1\mathbf{i} + 1\mathbf{j} - 2\mathbf{k} = (1, 1, -2)$$ Para el punto $P_r$, asignamos un valor a una variable. Si $x = 2$: $$2(2) + z - 5 = 0 \implies z = 1$$ $$2 + y + 1 - 3 = 0 \implies y = 0$$ Luego, $P_r(2, 0, 1)$. La ecuación paramétrica de $r$ es: $$r \equiv \begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = \lambda \\ z = 1 - 2\lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta definida por dos planos es siempre perpendicular a los vectores normales de ambos planos.

La recta $s$ ya está en su forma continua: $$s \equiv \frac{x - 2}{-2} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 1}{1}$$ Podemos extraer directamente un punto $P_s$ y su vector director $\vec{v_s}$: - Punto: **$P_s(2, -3, 1)$** - Vector director: **$\vec{v_s}(-2, 1, 1)$** La ecuación paramétrica de $s$ es: $$s \equiv \begin{cases} x = 2 - 2\mu \\ y = -3 + \mu \\ z = 1 + \mu \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la forma continua $\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(a, b, c)$.

La recta buscada $t$ debe ser perpendicular tanto a $r$ como a $s$. Por tanto, su vector director $\vec{v_t}$ será el producto vectorial de $\vec{v_r}$ y $\vec{v_s}$: $$\vec{v_t} = \vec{v_r} \times \vec{v_s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & -2 \\ -2 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos mediante Sarrus: $$\vec{v_t} = (1 \cdot 1 - 1 \cdot (-2))\mathbf{i} - (1 \cdot 1 - (-2) \cdot (-2))\mathbf{j} + (1 \cdot 1 - (-2) \cdot 1)\mathbf{k}$$ $$\vec{v_t} = (1 + 2)\mathbf{i} - (1 - 4)\mathbf{j} + (1 + 2)\mathbf{k} = (3, 3, 3)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar un vector proporcional: $$\vec{v_t} = (1, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** Al buscar solo la dirección, podemos simplificar el vector director dividiendo todas sus componentes por el mismo número.

Buscamos un punto $R \in r$ y un punto $S \in s$ tales que el vector $\vec{RS}$ tenga la dirección de $\vec{v_t}$. Expresamos los puntos en función de sus parámetros: - $R(2 + \lambda, \lambda, 1 - 2\lambda)$ - $S(2 - 2\mu, -3 + \mu, 1 + \mu)$ Calculamos el vector $\vec{RS}$: $$\vec{RS} = S - R = (2 - 2\mu - (2 + \lambda), -3 + \mu - \lambda, 1 + \mu - (1 - 2\lambda))$$ $$\vec{RS} = (-2\mu - \lambda, -3 + \mu - \lambda, \mu + 2\lambda)$$ Como $\vec{RS}$ debe ser paralelo a $\vec{v_t}(1, 1, 1)$, se debe cumplir que $\vec{RS} = k \cdot \vec{v_t}$. Esto implica que sus componentes deben ser iguales (o proporcionales): $$\begin{cases} -2\mu - \lambda = k \\ -3 + \mu - \lambda = k \\ \mu + 2\lambda = k \end{cases}$$ Igualamos las expresiones para eliminar $k$: 1) $-2\mu - \lambda = -3 + \mu - \lambda \implies -3\mu = -3 \implies \mathbf{\mu = 1}$ 2) $-3 + \mu - \lambda = \mu + 2\lambda \implies -3 = 3\lambda \implies \mathbf{\lambda = -1}$

Sustituimos el valor de $\lambda = -1$ en el punto genérico $R$ para obtener un punto de la recta $t$: $$R(2 + (-1), -1, 1 - 2(-1)) = R(1, -1, 3)$$ (Opcional: Si usamos $\mu = 1$ en $S$, obtenemos $S(2 - 2(1), -3 + 1, 1 + 1) = S(0, -2, 2)$. El vector $\vec{RS} = (0-1, -2-(-1), 2-3) = (-1, -1, -1)$, que efectivamente es paralelo a $(1, 1, 1)$). Con el punto $R(1, -1, 3)$ y el vector director $\vec{v_t}(1, 1, 1)$, escribimos la ecuación continua: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 3}{1}}$$