Determinante de la matriz inversa y parámetros

**B1) Calcula el valor del parámetro $t$ para que se cumpla la igualdad $|A^{-1}| = -1$, siendo $A$ la siguiente matriz: $A = \begin{pmatrix} t & 2 & t + 2 \\ -t & t & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ (2 puntos)** Para resolver este ejercicio, primero utilizaremos la propiedad fundamental que relaciona el determinante de una matriz con el de su matriz inversa. Sabemos que para cualquier matriz cuadrada invertible $A$, se cumple: $$|A \cdot A^{-1}| = |I|$$ Como el determinante del producto de dos matrices es el producto de sus determinantes ($|A \cdot B| = |A| \cdot |B|$) y el determinante de la identidad es $1$: $$|A| \cdot |A^{-1}| = 1 \implies |A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$$ Dado que el enunciado establece que $|A^{-1}| = -1$, podemos deducir el valor que debe tomar el determinante de $A$: $$-1 = \frac{1}{|A|} \implies |A| = -1$$ 💡 **Recuerda que:** Una matriz es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$).

Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} t & 2 & t + 2 \\ -t & t & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos el determinante: $$|A| = (t \cdot t \cdot 2) + (2 \cdot 0 \cdot 0) + ((t + 2) \cdot (-t) \cdot 1) - [0 \cdot t \cdot (t + 2) + 1 \cdot 0 \cdot t + 2 \cdot (-t) \cdot 2]$$ Simplificamos los términos: $$|A| = 2t^2 + 0 - (t^2 + 2t) - [0 + 0 - 4t]$$ $$|A| = 2t^2 - t^2 - 2t + 4t$$ $$|A| = t^2 + 2t$$ 💡 **Tip:** Al aplicar Sarrus, presta especial atención a los paréntesis y al signo negativo que afecta a todo el desarrollo de la diagonal secundaria.

Igualamos la expresión del determinante obtenida en el paso anterior al valor que dedujimos inicialmente ($|A| = -1$): $$t^2 + 2t = -1$$ Reordenamos la ecuación para obtener una ecuación de segundo grado: $$t^2 + 2t + 1 = 0$$ Esta expresión es una identidad notable perfecta, concretamente el cuadrado de una suma $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$(t + 1)^2 = 0$$ Para que el cuadrado sea igual a cero, la base de la potencia debe ser nula: $$t + 1 = 0 \implies t = -1$$ Verificamos la condición de invertibilidad: Si $t = -1$, el determinante es $|A| = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$. Como $-1 \neq 0$, la matriz es invertible y la solución es coherente. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{t = -1}$$