Áreas entre la gráfica del coseno y un cuadrado

Para resolver el problema, primero debemos identificar los límites del cuadrado y cómo la función interactúa con ellos. El cuadrado tiene centro en $(0,0)$ y lado 2, lo que significa que sus vértices son: $$V_1(-1, 1), \quad V_2(1, 1), \quad V_3(1, -1), \quad V_4(-1, -1)$$ Por tanto, el cuadrado ocupa la región del plano donde $-1 \le x \le 1$ y $-1 \le y \le 1$. La función dada es $f(x) = \cos \left( \dfrac{\pi x}{2} \right)$. Vamos a evaluar sus valores en los extremos del dominio del cuadrado: - Si $x = -1 \implies f(-1) = \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0$. - Si $x = 1 \implies f(1) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$. - Si $x = 0 \implies f(0) = \cos(0) = 1$. Observamos que la gráfica de la función toca los bordes laterales del cuadrado en $(-1, 0)$ y $(1, 0)$, y toca el borde superior en $(0, 1)$. Esto divide el cuadrado en **tres regiones bien diferenciadas**: 1. Una región inferior (por debajo de la curva). 2. Dos regiones superiores simétricas (por encima de la curva y por debajo del lado superior del cuadrado $y=1$). 💡 **Tip:** Dibuja siempre los límites de integración y la función para visualizar las regiones antes de integrar.

La región inferior ($R_3$) está limitada superiormente por la función $f(x) = \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)$ e inferiormente por el lado del cuadrado $y = -1$, en el intervalo $x \in [-1, 1]$. El área se calcula mediante la integral definida: $$A_3 = \int_{-1}^{1} [f(x) - (-1)] \, dx = \int_{-1}^{1} \left[ \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right) + 1 \right] dx$$ Calculamos la primitiva: $$\int \left[ \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right) + 1 \right] dx = \frac{2}{\pi} \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) + x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A_3 = \left[ \frac{2}{\pi} \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) + x \right]_{-1}^{1}$$ $$A_3 = \left( \frac{2}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 1 \right) - \left( \frac{2}{\pi} \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) - 1 \right)$$ $$A_3 = \left( \frac{2}{\pi} \cdot 1 + 1 \right) - \left( \frac{2}{\pi} \cdot (-1) - 1 \right) = \frac{2}{\pi} + 1 + \frac{2}{\pi} + 1 = 2 + \frac{4}{\pi}$$ ✅ **Resultado Área 3:** $$\boxed{A_3 = 2 + \frac{4}{\pi} \text{ u}^2 \approx 3.273 \text{ u}^2}$$

Las otras dos regiones son simétricas respecto al eje $Y$ debido a que la función coseno es par. Estas regiones están limitadas por arriba por $y=1$ y por abajo por $f(x)$. Calculamos el área de la región superior izquierda ($R_1$), que va de $x = -1$ a $x = 0$: $$A_1 = \int_{-1}^{0} [1 - f(x)] \, dx = \int_{-1}^{0} \left[ 1 - \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right) \right] dx$$ Calculamos la primitiva y aplicamos Barrow: $$A_1 = \left[ x - \frac{2}{\pi} \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) \right]_{-1}^{0}$$ $$A_1 = (0 - 0) - \left( -1 - \frac{2}{\pi} \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) \right)$$ $$A_1 = 0 - \left( -1 - \frac{2}{\pi} (-1) \right) = 0 - \left( -1 + \frac{2}{\pi} \right) = 1 - \frac{2}{\pi}$$ Debido a la simetría de la función, la región superior derecha ($R_2$) tiene el mismo valor: $$A_2 = A_1 = 1 - \frac{2}{\pi}$$ 💡 **Tip:** La simetría $f(x) = f(-x)$ nos permite ahorrar cálculos integrando solo un lado y duplicando o simplemente igualando resultados. ✅ **Resultado Áreas 1 y 2:** $$\boxed{A_1 = 1 - \frac{2}{\pi} \text{ u}^2 \approx 0.363 \text{ u}^2}$$ $$\boxed{A_2 = 1 - \frac{2}{\pi} \text{ u}^2 \approx 0.363 \text{ u}^2}$$

Para comprobar que los cálculos son correctos, sumamos las tres áreas. La suma debe ser igual al área total del cuadrado ($L^2 = 2^2 = 4$). $$A_{total} = A_1 + A_2 + A_3 = \left( 1 - \frac{2}{\pi} \right) + \left( 1 - \frac{2}{\pi} \right) + \left( 2 + \frac{4}{\pi} \right)$$ $$A_{total} = 1 + 1 + 2 - \frac{2}{\pi} - \frac{2}{\pi} + \frac{4}{\pi} = 4$$ La suma es correcta. Las tres áreas son: - **Región 1:** $1 - \dfrac{2}{\pi} \text{ u}^2$ - **Región 2:** $1 - \dfrac{2}{\pi} \text{ u}^2$ - **Región 3:** $2 + \dfrac{4}{\pi} \text{ u}^2$