Aplicación del Teorema del Valor Medio (Lagrange)

Para demostrar que existe un punto $\alpha$ donde la derivada de la función toma un valor específico, utilizaremos el **Teorema del Valor Medio (o Teorema de Lagrange)**. El enunciado del teorema dice: Si una función $f(x)$ es **continua** en el intervalo cerrado $[a, b]$ y **derivable** en el intervalo abierto $(a, b)$, entonces existe al menos un punto $\alpha \in (a, b)$ tal que: $$f'(\alpha) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$ En nuestro caso, el intervalo es $(0, 2)$, por lo que identificamos $a = 0$ y $b = 2$. Debemos comprobar si: $$\frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = 1$$ 💡 **Tip:** Siempre que te pidan demostrar la existencia de un valor para la derivada, piensa inmediatamente en el Teorema de Lagrange.

Antes de aplicar el teorema, debemos justificar que $f(x)$ cumple las condiciones en $[0, 2]$. 1. **Funciones trigonométricas:** $\sin \left( \frac{\pi + \pi x}{2} \right)$ y $\cos \left( \frac{\pi x}{2} \right)$ son continuas y derivables en todo $\mathbb{R}$. 2. **Función logarítmica:** $\ln (2e^x + 2x - x^2)$ es continua y derivable siempre que su argumento sea positivo: $g(x) = 2e^x + 2x - x^2 \gt 0$. - En $x = 0$: $2e^0 + 0 - 0 = 2 \gt 0$. - En $x = 2$: $2e^2 + 4 - 4 = 2e^2 \approx 14,78 \gt 0$. - La función $g(x)$ es creciente en el intervalo $[0, 2]$ (ya que $g'(x) = 2e^x + 2 - 2x \gt 0$ para $x \in [0, 2]$), por lo que siempre es positiva en dicho intervalo. Al ser producto de funciones continuas y derivables en el intervalo, **$f(x)$ es continua en $[0, 2]$ y derivable en $(0, 2)$**.

Calculamos el valor de la función en el extremo inferior del intervalo, $x = 0$: $$f(0) = \sin \left( \frac{\pi + \pi(0)}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi(0)}{2} \right) \cdot \ln (2e^0 + 2(0) - 0^2)$$ Evaluamos cada término: - $\sin \left( \frac{\pi}{2} \right) = 1$ - $\cos(0) = 1$ - $\ln(2 \cdot 1 + 0) = \ln(2)$ Por lo tanto: $$f(0) = 1 \cdot 1 \cdot \ln(2) = \ln(2)$$ $$\boxed{f(0) = \ln(2)}$$

Calculamos el valor de la función en el extremo superior del intervalo, $x = 2$: $$f(2) = \sin \left( \frac{\pi + \pi(2)}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi(2)}{2} \right) \cdot \ln (2e^2 + 2(2) - 2^2)$$ Evaluamos cada término: - $\sin \left( \frac{3\pi}{2} \right) = -1$ - $\cos(\pi) = -1$ - $\ln(2e^2 + 4 - 4) = \ln(2e^2)$ Usando las propiedades de los logaritmos, $\ln(a \cdot b) = \ln a + \ln b$: $$\ln(2e^2) = \ln(2) + \ln(e^2) = \ln(2) + 2$$ Multiplicamos todo: $$f(2) = (-1) \cdot (-1) \cdot (\ln(2) + 2) = \ln(2) + 2$$ $$\boxed{f(2) = \ln(2) + 2}$$

Sustituimos los valores obtenidos en la fórmula del Teorema del Valor Medio: $$f'(\alpha) = \frac{f(2) - f(0)}{2 - 0}$$ $$f'(\alpha) = \frac{(\ln(2) + 2) - \ln(2)}{2}$$ $$f'(\alpha) = \frac{2}{2} = 1$$ Como se cumplen las hipótesis de continuidad y derivabilidad, el **Teorema de Lagrange** garantiza que **existe al menos un $\alpha \in (0, 2)$ tal que $f'(\alpha) = 1$**, lo cual queda demostrado. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\exists \alpha \in (0, 2) / f'(\alpha) = 1}$$