Simétrico de un punto respecto a una recta

Para hallar el simétrico de un punto respecto a una recta, primero debemos extraer la información necesaria de la recta $r$. Dada la ecuación en forma continua: $$r \equiv \frac{x - (-1)}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - (-1)}{2}$$ Podemos identificar un punto de la recta $A$ y su vector director $\vec{v}_r$: - Punto $A = (-1, 2, -1)$ - Vector director $\vec{v}_r = (2, -1, 2)$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la forma continua $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(v_1, v_2, v_3)$.

Construimos un plano $\pi$ que sea perpendicular a la recta $r$ y que pase por el punto $P(2, 5, 2)$. Como el plano es perpendicular a la recta, el vector director de la recta será el vector normal del plano: $$\vec{n}_\pi = \vec{v}_r = (2, -1, 2)$$ La ecuación general del plano es de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituimos los componentes del vector normal: $$2x - y + 2z + D = 0$$ Para hallar $D$, obligamos a que el plano pase por $P(2, 5, 2)$: $$2(2) - (5) + 2(2) + D = 0$$ $$4 - 5 + 4 + D = 0 \implies 3 + D = 0 \implies D = -3$$ La ecuación del plano es: $$\boxed{\pi \equiv 2x - y + 2z - 3 = 0}$$

El punto de intersección $M$ entre la recta $r$ y el plano $\pi$ es el "pie de la perpendicular" de $P$ sobre $r$, que será el punto medio entre $P$ y su simétrico $P'$. Primero escribimos la recta $r$ en forma paramétrica: $$r \equiv \begin{cases} x = -1 + 2\lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = -1 + 2\lambda \end{cases}$$ Sustituimos estas expresiones en la ecuación del plano $\pi$: $$2(-1 + 2\lambda) - (2 - \lambda) + 2(-1 + 2\lambda) - 3 = 0$$ $$-2 + 4\lambda - 2 + \lambda - 2 + 4\lambda - 3 = 0$$ $$9\lambda - 9 = 0 \implies 9\lambda = 9 \implies \lambda = 1$$ Sustituimos $\lambda = 1$ en las paramétricas de $r$ para obtener el punto $M$: $$x = -1 + 2(1) = 1$$ $$y = 2 - 1 = 1$$ $$z = -1 + 2(1) = 1$$ Por tanto, el punto de intersección es: $$\boxed{M(1, 1, 1)}$$

El punto $M$ es el punto medio del segmento que une $P(2, 5, 2)$ con su simétrico $P'(x', y', z')$. La fórmula del punto medio es: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies (1, 1, 1) = \left( \frac{2 + x'}{2}, \frac{5 + y'}{2}, \frac{2 + z'}{2} \right)$$ Igualamos componente a componente: 1. $1 = \frac{2 + x'}{2} \implies 2 = 2 + x' \implies x' = 0$ 2. $1 = \frac{5 + y'}{2} \implies 2 = 5 + y' \implies y' = -3$ 3. $1 = \frac{2 + z'}{2} \implies 2 = 2 + z' \implies z' = 0$ 💡 **Tip:** También puedes usar la relación vectorial $\vec{OP'} = \vec{OP} + 2\vec{PM}$ o simplemente $P' = 2M - P$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P' = (0, -3, 0)}$$