Discusión y resolución de un sistema con parámetro

Para estudiar el sistema, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} a-3 & a-2 & 2 \\ 2a-6 & 3a-6 & 5 \\ 3-a & 0 & a-2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} a-3 & a-2 & 2 & | & -1 \\ 2a-6 & 3a-6 & 5 & | & -1 \\ 3-a & 0 & a-2 & | & a^2-4a+5 \end{pmatrix}$$ Observamos que podemos simplificar la expresión de algunos elementos factorizando: - $2a-6 = 2(a-3)$ - $3a-6 = 3(a-2)$ - $3-a = -(a-3)$ Así, la matriz $A$ queda: $$A = \begin{pmatrix} a-3 & a-2 & 2 \\ 2(a-3) & 3(a-2) & 5 \\ -(a-3) & 0 & a-2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Identificar factores comunes en las filas o columnas facilita enormemente el cálculo del determinante.

Calculamos $|A|$ aplicando propiedades para simplificar el cálculo: $$|A| = \begin{vmatrix} a-3 & a-2 & 2 \\ 2(a-3) & 3(a-2) & 5 \\ -(a-3) & 0 & a-2 \end{vmatrix}$$ Extraemos $(a-3)$ de la primera columna y $(a-2)$ de la segunda: $$|A| = (a-3)(a-2) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 5 \\ -1 & 0 & a-2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante de orden 3 por la regla de Sarrus: $$|A| = (a-3)(a-2) \left[ (1 \cdot 3 \cdot (a-2) + 1 \cdot 5 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 \cdot 0) - ((-1) \cdot 3 \cdot 2 + 0 \cdot 5 \cdot 1 + (a-2) \cdot 2 \cdot 1) \right]$$ $$|A| = (a-3)(a-2) \left[ (3a - 6 - 5) - (-6 + 2a - 4) \right]$$ $$|A| = (a-3)(a-2) \left[ 3a - 11 - (2a - 10) \right] = (a-3)(a-2)(a - 1)$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$|A| = 0 \iff (a-3)(a-2)(a-1) = 0 \implies a=1, a=2, a=3$$ 💡 **Tip:** Las propiedades de los determinantes (sacar factor común) nos permiten obtener el polinomio ya factorizado.

Analizamos los rangos según el valor de $a$: **Caso 1: $a \neq 1, a \neq 2$ y $a \neq 3$** $|A| \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 3$. Como el número de incógnitas es 3, por el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. **Caso 2: $a = 1$** $A^* = \begin{pmatrix} -2 & -1 & 2 & | & -1 \\ -4 & -3 & 5 & | & -1 \\ 2 & 0 & -1 & | & 2 \end{pmatrix}$. El rango de $A$ es 2 ya que $\begin{vmatrix} -2 & -1 \\ -4 & -3 \end{vmatrix} = 2 \neq 0$. Comprobamos el rango de $A^*$ con la última columna: $$\begin{vmatrix} -2 & -1 & -1 \\ -4 & -3 & -1 \\ 2 & 0 & 2 \end{vmatrix} = (12 + 2 + 0) - (6 + 0 + 8) = 14 - 14 = 0.$$ Como todos los menores de orden 3 son 0, $\text{rango}(A^*) = 2$. Sistema **Compatible Indeterminado (SCI)**. **Caso 3: $a = 2$** $A^* = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 & | & -1 \\ -2 & 0 & 5 & | & -1 \\ 1 & 0 & 0 & | & 1 \end{pmatrix}$. $\text{rango}(A) = 2$ (menor $\begin{vmatrix} -2 & 5 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -5$). Calculamos menor de $A^*$ con cols 1, 3 y 4: $\begin{vmatrix} -1 & 2 & -1 \\ -2 & 5 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (-5 - 2 + 0) - (-5 + 0 - 4) = -7 + 9 = 2 \neq 0$. $\text{rango}(A^*) = 3$. Sistema **Incompatible (SI)**. **Caso 4: $a = 3$** $A^* = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & | & -1 \\ 0 & 3 & 5 & | & -1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 \end{pmatrix}$. $\text{rango}(A) = 2$ (menor $\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 3$). Calculamos menor de $A^*$ con cols 2, 3 y 4: $\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 5 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (10 + 0 - 3) - (0 - 1 + 12) = 7 - 11 = -4 \neq 0$. $\text{rango}(A^*) = 3$. Sistema **Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\text{SCD si } a \in \mathbb{R} \setminus \{1, 2, 3\}; \text{ SCI si } a = 1; \text{ SI si } a = 2 \text{ o } a = 3}$$

Para resolver el sistema general, utilizaremos combinaciones lineales de las ecuaciones: (1) $(a-3)x + (a-2)y + 2z = -1$ (2) $2(a-3)x + 3(a-2)y + 5z = -1$ (3) $-(a-3)x + (a-2)z = a^2-4a+5$ Operamos $(2) - 2 \cdot (1)$: $$[2(a-3)x + 3(a-2)y + 5z] - 2[(a-3)x + (a-2)y + 2z] = -1 - 2(-1)$$ $$(a-2)y + z = 1 \implies (a-2)y = 1 - z$$ Operamos $(1) + (3)$: $$(a-2)y + (a)z = a^2-4a+4 = (a-2)^2$$ Sustituimos $(a-2)y$: $$(1 - z) + az = (a-2)^2 \implies z(a-1) = (a-2)^2 - 1$$ $$z(a-1) = a^2 - 4a + 4 - 1 = a^2 - 4a + 3 = (a-1)(a-3)$$ $$\mathbf{z = a - 3}$$ Sustituimos $z$ para hallar $y$: $$(a-2)y = 1 - (a-3) = 4 - a \implies \mathbf{y = \frac{4-a}{a-2}}$$ Sustituimos en (3) para hallar $x$: $$-(a-3)x + (a-2)(a-3) = a^2-4a+5$$ $$-(a-3)x = a^2-4a+5 - (a^2-5a+6) = a - 1 \implies \mathbf{x = -\frac{a-1}{a-3}}$$ ✅ **Resultado (SCD):** $$\boxed{x = \dfrac{1-a}{a-3}, \quad y = \dfrac{4-a}{a-2}, \quad z = a-3}$$

Si $a = 1$, el sistema es: $$\begin{cases} -2x - y + 2z = -1 \\ -4x - 3y + 5z = -1 \\ 2x - z = 2 \end{cases}$$ De la tercera ecuación: $z = 2x - 2$. Sustituimos en la primera: $$-2x - y + 2(2x - 2) = -1 \implies -2x - y + 4x - 4 = -1 \implies 2x - y = 3 \implies y = 2x - 3$$ Llamamos $x = \lambda$: $$\begin{cases} x = \lambda \\ y = 2\lambda - 3 \\ z = 2\lambda - 2 \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}$$ ✅ **Resultado (SCI):** $$\boxed{(x, y, z) = (\lambda, 2\lambda-3, 2\lambda-2) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$