Probabilidad Total y Aproximación de la Binomial por la Normal

**a) (1 punto) Si se fabrican 5000 productos en un mes, ¿cuántos de ellos se espera que sean defectuosos?** Primero definimos los sucesos del experimento: - $A$: El producto es de tipo A. - $B$: El producto es de tipo B. - $D$: El producto es defectuoso. - $\bar{D}$: El producto no es defectuoso. Organizamos los datos en un árbol de probabilidades: 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser $1$.

Para hallar el número esperado, primero calculamos la probabilidad de que un producto cualquiera sea defectuoso mediante el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(D) = P(A) \cdot P(D|A) + P(B) \cdot P(D|B)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(D) = 0.75 \cdot 0.025 + 0.25 \cdot 0.05$$ $$P(D) = 0.01875 + 0.0125 = 0.03125$$ La probabilidad de que un producto sea defectuoso es del **$3.125\%$**.

Si se fabrican $n = 5000$ productos, el número esperado de defectuosos ($E$) se calcula multiplicando el total por la probabilidad de ser defectuoso: $$E = n \cdot P(D)$$ $$E = 5000 \cdot 0.03125 = 156.25$$ Como estamos hablando de unidades físicas, podemos decir que se espera que haya aproximadamente **156 o 157** productos defectuosos. ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{156.25 \text{ productos defectuosos}}$$

**b) (1.5 puntos) Un mes, por motivos logísticos, se cambió la producción, de modo que se fabricaron exclusivamente productos de tipo A. Sabiendo que se fabricaron 6000 unidades, determinar, aproximando la distribución por una normal, la probabilidad de que haya más de 160 unidades defectuosas.** En este escenario, solo se producen productos tipo A. Definimos la variable aleatoria $X$: $X = \text{"Número de productos defectuosos en una muestra de 6000 de tipo A"}.$ Se trata de una distribución Binomial $X \sim B(n, p)$ donde: - $n = 6000$ - $p = P(D|A) = 0.025$ - $q = 1 - p = 0.975$ 💡 **Tip:** Una distribución Binomial cuenta el número de éxitos en $n$ ensayos independientes con probabilidad constante $p$.

Comprobamos si se cumplen las condiciones para aproximar por una Normal ($n \cdot p > 5$ y $n \cdot q > 5$): - $n \cdot p = 6000 \cdot 0.025 = 150 > 5$ - $n \cdot q = 6000 \cdot 0.975 = 5850 > 5$ Calculamos los parámetros de la Normal $N(\mu, \sigma)$: - Media: $\mu = n \cdot p = 150$ - Desviación típica: $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{6000 \cdot 0.025 \cdot 0.975} = \sqrt{146.25} \approx 12.0934$ Por tanto, podemos aproximar $X$ por una variable continua $Y \sim N(150, \, 12.0934)$.

Queremos calcular $P(X \gt 160)$. Al pasar de una variable discreta a una continua, aplicamos la **corrección por continuidad de Yates**: $$P(X \gt 160) \approx P(Y \ge 160.5)$$ Ahora tipificamos la variable para usar la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$: $$Z = \frac{Y - \mu}{\sigma}$$ $$P(Y \ge 160.5) = P\left(Z \ge \frac{160.5 - 150}{12.0934}\right) = P\left(Z \ge \frac{10.5}{12.0934}\right) \approx P(Z \ge 0.87)$$ Como las tablas suelen dar la probabilidad acumulada a la izquierda: $$P(Z \ge 0.87) = 1 - P(Z \le 0.87)$$ Buscamos en la tabla $N(0, 1)$ el valor para $0.87$: $P(Z \le 0.87) = 0.8078$ Finalmente: $$1 - 0.8078 = 0.1922$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{0.1922}$$