Geometría: Distancias, posición relativa y planos

**a) (1 punto) Hallar la distancia del punto $P$ a la recta $r$.** Primero, expresamos la recta $r$ en una forma más manejable (paramétrica). La recta viene dada por la intersección de dos planos: $r \equiv \begin{cases} 2x + y = 2 \\ 5x + z = 6 \end{cases}$ Podemos usar $x$ como parámetro $\lambda$: Sea $x = \lambda$, entonces: $y = 2 - 2\lambda$ $z = 6 - 5\lambda$ De aquí obtenemos un punto $R$ de la recta $r$ y su vector director $\vec{v_r}$: - Punto **$R(0, 2, 6)$** (haciendo $\lambda = 0$) - Vector director **$\vec{v_r} = (1, -2, -5)$** 💡 **Tip:** Para pasar de ecuaciones implícitas a paramétricas, basta con resolver el sistema dejando una de las variables como parámetro.

Para hallar la distancia de un punto $P$ a una recta $r$, utilizamos la fórmula: $$d(P, r) = \frac{|\vec{v_r} \times \vec{RP}|}{|\vec{v_r}|}$$ 1. Calculamos el vector $\vec{RP} = P - R = (1, 1, 1) - (0, 2, 6) = (1, -1, -5)$. 2. Calculamos el producto vectorial $\vec{v_r} \times \vec{RP}$ mediante un determinante: $$\vec{v_r} \times \vec{RP} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & -5 \\ 1 & -1 & -5 \end{vmatrix}$$ Desarrollando por Sarrus: $$\vec{i}(10 - 5) - \vec{j}(-5 - (-5)) + \vec{k}(-1 - (-2)) = 5\vec{i} + 0\vec{j} + 1\vec{k} = (5, 0, 1)$$ 3. Calculamos los módulos: $|\vec{v_r} \times \vec{RP}| = \sqrt{5^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$ $|\vec{v_r}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 4 + 25} = \sqrt{30}$ 4. La distancia es: $$d(P, r) = \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{30}} = \sqrt{\frac{26}{30}} = \sqrt{\frac{13}{15}} \approx 0.93 \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(P, r) = \sqrt{\frac{13}{15}} \text{ u}}$$

**b) (1 punto) Estudiar la posición relativa de las rectas $r$ y $s$.** Extraemos la información de ambas rectas: **Recta $r$:** - Vector director: $\vec{v_r} = (1, -2, -5)$ - Punto: $R(0, 2, 6)$ **Recta $s$:** $s \equiv \frac{x - 2}{-1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 1}{1/3}$ - Vector director: $\vec{v_s} = (-1, 1, 1/3)$. Para trabajar con enteros, podemos usar $\vec{v_s} = (-3, 3, 1)$. - Punto: $S(2, -1, 1)$ Comprobamos si los vectores directores son paralelos: ¿$\frac{1}{-3} = \frac{-2}{3} = \frac{-5}{1}$? Como las coordenadas no son proporcionales, los vectores **no son paralelos**, por lo que las rectas se cortan o se cruzan. 💡 **Tip:** Si los vectores directores son proporcionales, las rectas serían paralelas o coincidentes.

Para distinguir si se cortan o se cruzan, analizamos el vector que une un punto de cada recta: $\vec{RS} = S - R = (2, -1, 1) - (0, 2, 6) = (2, -3, -5)$ Calculamos el determinante formado por $\vec{v_r}$, $\vec{v_s}$ y $\vec{RS}$: $$\det(\vec{v_r}, \vec{v_s}, \vec{RS}) = \begin{vmatrix} 1 & -2 & -5 \\ -3 & 3 & 1 \\ 2 & -3 & -5 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$[1 \cdot 3 \cdot (-5) + (-2) \cdot 1 \cdot 2 + (-5) \cdot (-3) \cdot (-3)] - [(-5) \cdot 3 \cdot 2 + 1 \cdot 1 \cdot (-3) + (-2) \cdot (-3) \cdot (-5)]$$ $$= [-15 - 4 - 45] - [-30 - 3 - 30]$$ $$= [-64] - [-63] = -64 + 63 = -1$$ Como el determinante es **distinto de cero** ($\neq 0$), los tres vectores son linealmente independientes, lo que significa que las rectas están en planos distintos y no tienen puntos comunes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan}}$$

**c) (0.5 puntos) Hallar el plano perpendicular a la recta $s$ y que pasa por el punto $P$.** Si el plano $\pi$ es perpendicular a la recta $s$, el vector director de la recta $s$ será el **vector normal** del plano: $$\vec{n_\pi} = \vec{v_s} = (-3, 3, 1)$$ La ecuación general del plano es de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituimos las componentes del vector normal: $$-3x + 3y + z + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que el plano pase por el punto $P(1, 1, 1)$: $$-3(1) + 3(1) + 1 + D = 0$$ $$-3 + 3 + 1 + D = 0 \implies 1 + D = 0 \implies D = -1$$ La ecuación del plano es $-3x + 3y + z - 1 = 0$, que podemos escribir multiplicando por $-1$ para simplificar. ✅ **Resultado:** $$\boxed{3x - 3y - z + 1 = 0}$$