Probabilidad y Estadística 2018 Madrid
Probabilidad: Ventas y devoluciones
Ejercicio 4 . Calificación máxima: 2.5 puntos.
El $60\%$ de las ventas en unos grandes almacenes corresponden a artículos con precios rebajados. Los clientes devuelven el $15\%$ de los artículos que compran rebajados, porcentaje que disminuye al $8\%$ si los artículos han sido adquiridos sin rebajas.
a) (1.25 puntos) Determine el porcentaje global de artículos devueltos.
b) (1.25 puntos) ¿Qué porcentaje de artículos devueltos fueron adquiridos con precios rebajados?
Paso 1
Definición de sucesos y esquema del árbol de probabilidad
Para resolver este problema, primero definimos los sucesos principales:
- $R$: El artículo ha sido adquirido con precio **rebajado**.
- $\bar{R}$: El artículo ha sido adquirido **sin rebaja** (precio normal).
- $D$: El artículo es **devuelto** por el cliente.
- $\bar{D}$: El artículo **no es devuelto**.
Extraemos los datos del enunciado:
- $P(R) = 0.60$ (el $60\%$ de las ventas son rebajadas).
- $P(\bar{R}) = 1 - 0.60 = 0.40$ (el $40\%$ restante no tiene rebaja).
- $P(D|R) = 0.15$ (probabilidad de devolver dado que es rebajado).
- $P(D|\bar{R}) = 0.08$ (probabilidad de devolver dado que no es rebajado).
Organizamos la información en un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo del porcentaje global de artículos devueltos
**a) (1.25 puntos) Determine el porcentaje global de artículos devueltos.**
Para calcular la probabilidad total de que un artículo sea devuelto $P(D)$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Un artículo puede ser devuelto habiendo sido rebajado o no:
$$P(D) = P(R \cap D) + P(\bar{R} \cap D)$$
$$P(D) = P(R) \cdot P(D|R) + P(\bar{R}) \cdot P(D|\bar{R})$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$P(D) = (0.60 \cdot 0.15) + (0.40 \cdot 0.08)$$
$$P(D) = 0.09 + 0.032$$
$$P(D) = 0.122$$
Para expresar el resultado como un porcentaje, multiplicamos por $100$:
$$0.122 \cdot 100 = 12.2\%$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso (devolver) depende de varios escenarios excluyentes (con rebaja o sin rebaja).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{12.2\%}$$
Paso 3
Cálculo del porcentaje de artículos devueltos que eran rebajados
**b) (1.25 puntos) ¿Qué porcentaje de artículos devueltos fueron adquiridos con precios rebajados?**
En este apartado nos piden una probabilidad condicionada: sabiendo que el artículo ha sido devuelto ($D$), ¿cuál es la probabilidad de que fuera rebajado ($R$)? Es decir, buscamos $P(R|D)$.
Aplicamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(R|D) = \frac{P(R \cap D)}{P(D)} = \frac{P(R) \cdot P(D|R)}{P(D)}$$
Utilizamos los valores obtenidos anteriormente:
- $P(R \cap D) = 0.09$
- $P(D) = 0.122$
Calculamos el cociente:
$$P(R|D) = \frac{0.09}{0.122} \approx 0.7377$$
Convertimos el resultado a porcentaje:
$$0.7377 \cdot 100 = 73.77\%$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes permite "invertir" la probabilidad condicionada. Si conocemos $P(D|R)$, Bayes nos ayuda a encontrar $P(R|D)$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{73.77\%}$$