Geometría en el espacio: Volumen de un cubo y vértices de un cuadrado

**a) (1 punto) Calcular el volumen de un cubo que tenga dos de sus caras en dichos planos.** Para que dos caras de un cubo estén situadas en los planos $\pi_1$ y $\pi_2$, dichos planos deben ser paralelos. Comprobamos la proporcionalidad de sus vectores normales: $$\vec{n}_1 = (4, 6, -12)$$ $$\vec{n}_2 = (-2, -3, 6)$$ Observamos que: $$\frac{4}{-2} = \frac{6}{-3} = \frac{-12}{6} = -2$$ Como los coeficientes de las variables son proporcionales, los planos son paralelos. La distancia entre estos planos será la longitud de la arista $a$ del cubo. 💡 **Tip:** Si los planos no fueran paralelos, no podrían contener caras opuestas de un cubo, ya que las caras de un cubo son paralelas entre sí o perpendiculares.

Para calcular la distancia entre dos planos paralelos, primero expresamos ambos planos con el mismo vector normal. Multiplicamos la ecuación de $\pi_2$ por $-2$: $$\pi_1 \equiv 4x + 6y - 12z + 1 = 0$$ $$\pi_2 \equiv 4x + 6y - 12z + 10 = 0$$ La arista $a$ es la distancia entre $\pi_1$ y $\pi_2$: $$a = d(\pi_1, \pi_2) = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ $$a = \frac{|1 - 10|}{\sqrt{4^2 + 6^2 + (-12)^2}} = \frac{|-9|}{\sqrt{16 + 36 + 144}} = \frac{9}{\sqrt{196}} = \frac{9}{14}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para aplicar la fórmula directa de la distancia entre planos, los coeficientes $A, B$ y $C$ deben ser idénticos en ambas ecuaciones. $$\boxed{a = \frac{9}{14} \text{ unidades}}$$

El volumen $V$ de un cubo se calcula elevando al cubo la longitud de su arista: $$V = a^3 = \left(\frac{9}{14}\right)^3 = \frac{729}{2744}$$ Realizando la división: $$V \approx 0.2656 \text{ unidades cubicas}$$ ✅ **Resultado (Volumen):** $$\boxed{V = \frac{729}{2744} \text{ u}^3}$$

**b) (1.5 puntos) Para el cuadrado de vértices consecutivos $ABCD$, con $A(2, 1, 3)$ y $B(1, 2, 3)$, calcular los vértices $C$ y $D$, sabiendo que $C$ pertenece a los planos $\pi_2$ y $\pi_3 \equiv x - y + z = 2$.** El vértice $C(x, y, z)$ debe cumplir tres condiciones: 1. Pertenece a $\pi_2$: $-2x - 3y + 6z - 5 = 0$ 2. Pertenece a $\pi_3$: $x - y + z = 2$ 3. Al ser un cuadrado de vértices consecutivos $A, B, C, D$, el vector $\vec{BC}$ debe ser perpendicular al vector $\vec{AB}$: Calculamos $\vec{AB}$: $$\vec{AB} = B - A = (1 - 2, 2 - 1, 3 - 3) = (-1, 1, 0)$$ El vector $\vec{BC}$ es: $$\vec{BC} = (x - 1, y - 2, z - 3)$$ Condición de perpendicularidad (producto escalar nulo): $$\vec{BC} \cdot \vec{AB} = 0 \implies (x - 1)(-1) + (y - 2)(1) + (z - 3)(0) = 0$$ $$-x + 1 + y - 2 = 0 \implies y - x = 1 \implies y = x + 1$$

Sustituimos $y = x + 1$ en las ecuaciones de los planos $\pi_2$ y $\pi_3$: En $\pi_3$: $$x - (x + 1) + z = 2 \implies x - x - 1 + z = 2 \implies z - 1 = 2 \implies z = 3$$ En $\pi_2$: $$-2x - 3(x + 1) + 6(3) - 5 = 0$$ $$-2x - 3x - 3 + 18 - 5 = 0$$ $$-5x + 10 = 0 \implies 5x = 10 \implies x = 2$$ Calculamos $y$: $$y = x + 1 = 2 + 1 = 3$$ Por lo tanto, el vértice $C$ es: $$\boxed{C(2, 3, 3)}$$ 💡 **Tip:** Siempre verifica que la longitud $|BC|$ sea igual a $|AB|$. $|AB| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$. $|BC| = \sqrt{(2-1)^2 + (3-2)^2 + (3-3)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$. ¡Correcto!

En un cuadrado, al ser un paralelogramo, se cumple la igualdad vectorial: $$\vec{AD} = \vec{BC}$$ Calculamos el vector $\vec{BC}$: $$\vec{BC} = (2 - 1, 3 - 2, 3 - 3) = (1, 1, 0)$$ Sea $D(x, y, z)$. El vector $\vec{AD}$ es: $$\vec{AD} = (x - 2, y - 1, z - 3)$$ Igualamos los componentes: $$(x - 2, y - 1, z - 3) = (1, 1, 0)$$ - $x - 2 = 1 \implies x = 3$ - $y - 1 = 1 \implies y = 2$ - $z - 3 = 0 \implies z = 3$ Por lo tanto, el vértice $D$ es: $$\boxed{D(3, 2, 3)}$$ ✅ **Resultado final (Vértices):** $$\boxed{C(2, 3, 3), \quad D(3, 2, 3)}$$