Optimización del error y cálculo integral por partes

**a) (1.5 puntos) En un experimento en un laboratorio se han realizado 5 medidas del mismo objeto, que han dado los resultados siguientes: $m_1 = 0.92, m_2 = 0.94, m_3 = 0.89, m_4 = 0.90, m_5 = 0.91$. Se tomará como resultado el valor de $x$ tal que la suma de los cuadrados de los errores sea mínima. Es decir, el valor para el que la función $E(x) = (x - m_1)^2 + (x - m_2)^2 + \dots + (x - m_5)^2$ alcanza el mínimo. Calcule dicho valor $x$.** Primero, escribimos la función $E(x)$ sustituyendo los valores de las medidas $m_i$: $$E(x) = (x - 0.92)^2 + (x - 0.94)^2 + (x - 0.89)^2 + (x - 0.90)^2 + (x - 0.91)^2.$$ Para minimizar esta función, calculamos su primera derivada utilizando la regla de la cadena para potencias: $$E'(x) = 2(x - 0.92) + 2(x - 0.94) + 2(x - 0.89) + 2(x - 0.90) + 2(x - 0.91).$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $(x-a)^2$ es $2(x-a)$. Al tener una suma de términos, derivamos cada uno de ellos de forma independiente.

Para hallar el mínimo, igualamos la primera derivada a cero: $$2[(x - 0.92) + (x - 0.94) + (x - 0.89) + (x - 0.90) + (x - 0.91)] = 0.$$ Dividimos toda la ecuación entre 2 y agrupamos los términos en $x$: $$5x - (0.92 + 0.94 + 0.89 + 0.90 + 0.91) = 0.$$ $$5x - 4.56 = 0.$$ Despejamos $x$: $$x = \frac{4.56}{5} = 0.912.$$ 💡 **Tip:** Observa que el valor que minimiza la suma de los cuadrados de los errores es simplemente la **media aritmética** de las medidas realizadas.

Para asegurar que $x = 0.912$ es un mínimo, calculamos la segunda derivada de $E(x)$: $$E''(x) = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10.$$ Como $E''(0.912) = 10 \gt 0$, por el criterio de la segunda derivada, confirmamos que en $x = 0.912$ la función alcanza un **mínimo relativo** (que en este caso es absoluto al ser una parábola convexa). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 0.912}$$

**b) (1 punto) Aplique el método de integración por partes para calcular la integral $\int_1^2 x^2 \ln(x) dx$, donde $\ln$ significa logaritmo neperiano.** Utilizamos la fórmula de integración por partes: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du.$$ Elegimos las partes siguiendo la regla mnemotécnica ALPES (donde los logaritmos tienen prioridad para ser $u$): - $u = \ln(x) \implies du = \dfrac{1}{x} dx$ - $dv = x^2 dx \implies v = \int x^2 dx = \dfrac{x^3}{3}$ 💡 **Tip:** Al elegir $u = \ln(x)$, simplificamos la integral resultante porque su derivada es una función racional que se cancelará parcialmente con $v$.

Aplicamos la fórmula: $$\int x^2 \ln(x) dx = \ln(x) \cdot \frac{x^3}{3} - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} dx.$$ Simplificamos el término dentro de la integral: $$\int x^2 \ln(x) dx = \frac{x^3}{3} \ln(x) - \frac{1}{3} \int x^2 dx.$$ Calculamos la última integral: $$\int x^2 \ln(x) dx = \frac{x^3}{3} \ln(x) - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{x^3}{3} \ln(x) - \frac{x^3}{9}.$$ 💡 **Tip:** No olvides que $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ para $n \neq -1$.

Ahora aplicamos los límites de integración de 1 a 2 mediante la Regla de Barrow: $$\int_1^2 x^2 \ln(x) dx = \left[ \frac{x^3}{3} \ln(x) - \frac{x^3}{9} \right]_1^2.$$ Evaluamos en el límite superior ($x=2$): $$\left( \frac{2^3}{3} \ln(2) - \frac{2^3}{9} \right) = \frac{8}{3} \ln(2) - \frac{8}{9}.$$ Evaluamos en el límite inferior ($x=1$): $$\left( \frac{1^3}{3} \ln(1) - \frac{1^3}{9} \right) = \frac{1}{3}(0) - \frac{1}{9} = -\frac{1}{9}.$$ Restamos ambos resultados: $$\left( \frac{8}{3} \ln(2) - \frac{8}{9} \right) - \left( -\frac{1}{9} \right) = \frac{8}{3} \ln(2) - \frac{8}{9} + \frac{1}{9} = \frac{8}{3} \ln(2) - \frac{7}{9}.$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int_1^2 x^2 \ln(x) dx = \frac{8}{3} \ln(2) - \frac{7}{9} \approx 1.0706}$$