Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a) (2 puntos) Discutir el sistema en función del parámetro $m$.** Para discutir el sistema, representamos las ecuaciones en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 1 & m & 0 \\ -2 & -(m+1) & 1 \\ 1 & 2m-1 & m+2 \end{pmatrix}, \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & m & 0 & | & 1 \\ -2 & -(m+1) & 1 & | & -1 \\ 1 & 2m-1 & m+2 & | & 2+2m \end{pmatrix}$$ El número de incógnitas es $n = 3$ ($x, y, z$). 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius nos permite clasificar el sistema comparando el rango de $A$ y el de $A^*$.

Calculamos el determinante de $A$ para ver cuándo el rango es máximo: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & m & 0 \\ -2 & -(m+1) & 1 \\ 1 & 2m-1 & m+2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la primera fila: $$|A| = 1 \cdot \begin{vmatrix} -(m+1) & 1 \\ 2m-1 & m+2 \end{vmatrix} - m \cdot \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & m+2 \end{vmatrix} + 0$$ $$|A| = [-(m+1)(m+2) - (2m-1)] - m[-2(m+2) - 1]$$ $$|A| = [-(m^2 + 3m + 2) - 2m + 1] - m[-2m - 4 - 1]$$ $$|A| = -m^2 - 3m - 2 - 2m + 1 + 2m^2 + 5m = m^2 - 1$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$m^2 - 1 = 0 \implies m^2 = 1 \implies \mathbf{m = 1, \quad m = -1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante de la matriz cuadrada es distinto de cero, el rango es igual a su dimensión.

Si $m \neq 1$ y $m \neq -1$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz de coeficientes es $rg(A) = 3$. Como el rango de la matriz ampliada no puede ser mayor que 3 ni menor que el de $A$, entonces $rg(A^*) = 3$. Dado que $rg(A) = rg(A^*) = 3 = n$ (número de incógnitas), por el **Teorema de Rouché-Frobenius**: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m \neq \pm 1, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD)}}$$

Sustituimos $m = 1$ en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 1 \\ -2 & -2 & 1 & | & -1 \\ 1 & 1 & 3 & | & 4 \end{pmatrix}$$ Como $|A| = 0$, $rg(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $$\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -6 - 1 = -7 \neq 0 \implies rg(A) = 2$$ Ahora calculamos el rango de $A^*$ tomando las columnas 1, 3 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 4 \end{vmatrix} = (4 + 0 - 6) - (1 - 3 + 0) = -2 - (-2) = 0$$ Dado que todos los posibles menores de orden 3 en $A^*$ son cero (la columna 2 es igual a la columna 1), entonces $rg(A^*) = 2$. Como $rg(A) = rg(A^*) = 2 \lt n$, el sistema es **Compatible Indeterminado**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = 1, \text{ el sistema es Compatible Indeterminado (SCI)}}$$

Sustituimos $m = -1$ en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & | & 1 \\ -2 & 0 & 1 & | & -1 \\ 1 & -3 & 1 & | & 0 \end{pmatrix}$$ Como $|A| = 0$, $rg(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 2 = -2 \neq 0 \implies rg(A) = 2$$ Calculamos el rango de $A^*$ tomando las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -2 & 0 & -1 \\ 1 & -3 & 0 \end{vmatrix} = (0 + 1 + 6) - (0 + 3 + 0) = 7 - 3 = 4 \neq 0 \implies rg(A^*) = 3$$ Como $rg(A) = 2 \neq rg(A^*) = 3$, el sistema no tiene solución. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = -1, \text{ el sistema es Incompatible (SI)}}$$

**b) (0.5 puntos) Resolver el sistema en el caso $m = 0$.** Si $m = 0$, el sistema es Compatible Determinado (SCD) según el apartado anterior. Sustituimos $m=0$: $$\begin{cases} x = 1 \\ -2x - y + z = -1 \\ x - y + 2z = 2 \end{cases}$$ Ya tenemos **$x = 1$**. Sustituimos este valor en las otras dos ecuaciones: 1) $-2(1) - y + z = -1 \implies -y + z = 1$ 2) $1 - y + 2z = 2 \implies -y + 2z = 1$ Restamos la ecuación (1) a la ecuación (2): $$(-y + 2z) - (-y + z) = 1 - 1 \implies z = 0$$ Sustituimos $z = 0$ en la ecuación (1): $$-y + 0 = 1 \implies y = -1$$ 💡 **Tip:** Siempre comprueba la solución obtenida en todas las ecuaciones originales para asegurar que es correcta. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 1, \quad y = -1, \quad z = 0}$$