Cálculo de valores y probabilidades en una distribución normal

**a) (1.25 puntos) Calcular el valor $a$ tal que $P(X \le a) = 0.05$.** Identificamos los parámetros de nuestra distribución normal: $$X \sim N(\mu=8.5, \sigma=2.5)$$ Para trabajar con las tablas de la normal estándar, realizamos el cambio de variable (tipificación) utilizando la fórmula $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$: $$P(X \le a) = P\left( \frac{X - 8.5}{2.5} \le \frac{a - 8.5}{2.5} \right) = P(Z \le z_a) = 0.05$$ donde $z_a = \dfrac{a - 8.5}{2.5}$. 💡 **Tip:** Tipificar consiste en transformar cualquier variable normal $X$ en una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ para poder usar las tablas de áreas bajo la curva.

Queremos hallar $z_a$ tal que $P(Z \le z_a) = 0.05$. Como la probabilidad es menor que $0.5$, sabemos que el valor de $z_a$ debe ser negativo. Las tablas de la normal estándar suelen mostrar valores positivos, por lo que aplicamos la propiedad de simetría: $$P(Z \le z_a) = P(Z \ge -z_a) = 1 - P(Z \le -z_a) = 0.05$$ Despejamos la probabilidad para buscarla en la tabla: $$P(Z \le -z_a) = 1 - 0.05 = 0.95$$ Buscando en la tabla de la normal estándar $N(0, 1)$, el valor de probabilidad $0.95$ se encuentra entre $1.64$ y $1.65$. Tomamos el valor medio: $$-z_a = 1.645 \implies z_a = -1.645$$

Ahora deshacemos el cambio de variable para obtener $a$: $$z_a = \frac{a - 8.5}{2.5} = -1.645$$ Multiplicamos por la desviación típica: $$a - 8.5 = -1.645 \cdot 2.5 = -4.1125$$ Sumamos la media: $$a = 8.5 - 4.1125 = 4.3875$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 4.3875}$$

**b) (1.25 puntos) Calcular la probabilidad de que la variable tome un valor comprendido entre 8 y 9.3.** Nos piden calcular $P(8 \le X \le 9.3)$. Tipificamos ambos extremos del intervalo usando $Z = \dfrac{X - 8.5}{2.5}$: Para el extremo inferior $x_1 = 8$: $$z_1 = \frac{8 - 8.5}{2.5} = \frac{-0.5}{2.5} = -0.2$$ Para el extremo superior $x_2 = 9.3$: $$z_2 = \frac{9.3 - 8.5}{2.5} = \frac{0.8}{2.5} = 0.32$$ Por tanto: $$P(8 \le X \le 9.3) = P(-0.2 \le Z \le 0.32)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(z_1 \le Z \le z_2) = P(Z \le z_2) - P(Z \le z_1)$.

Desarrollamos la expresión anterior: $$P(-0.2 \le Z \le 0.32) = P(Z \le 0.32) - P(Z \le -0.2)$$ Aplicamos la propiedad para el valor negativo: $$P(Z \le -0.2) = 1 - P(Z \le 0.2)$$ Sustituyendo en la expresión general: $$P(-0.2 \le Z \le 0.32) = P(Z \le 0.32) - (1 - P(Z \le 0.2))$$ Consultamos los valores en la tabla de la normal estándar: - $P(Z \le 0.32) = 0.6255$ - $P(Z \le 0.2) = 0.5793$ Operamos: $$P(-0.2 \le Z \le 0.32) = 0.6255 - (1 - 0.5793) = 0.6255 - 0.4207 = 0.2048$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(8 \le X \le 9.3) = 0.2048}$$