Geometría en el espacio: planos, perpendicularidad y áreas

**a) (0.5 puntos) Hallar la ecuación implícita del plano que contiene a $r$ y pasa por $P$.** Para determinar la ecuación de un plano $\pi$ necesitamos un punto y dos vectores directores no colineales. Como el plano contiene a la recta $r$, podemos tomar el punto $Q(1, 0, 1)$ y el vector director $\vec{v} = (0, 1, 2)$. Además, como el plano pasa por $P(0, -1, 1)$, podemos construir un segundo vector director usando los puntos $Q$ y $P$: $$\vec{u} = \vec{QP} = P - Q = (0 - 1, -1 - 0, 1 - 1) = (-1, -1, 0)$$ La ecuación implícita se obtiene resolviendo el determinante formado por un punto genérico $X(x, y, z)$, el punto $P$ y los vectores $\vec{v}$ y $\vec{u}$: $$\begin{vmatrix} x - x_P & y - y_P & z - z_P \\ v_x & v_y & v_z \\ u_x & u_y & u_z \\ \end{vmatrix} = 0 \implies \begin{vmatrix} x & y + 1 & z - 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 0$$ Resolvemos por la regla de Sarrus: $$[x \cdot 1 \cdot 0 + (y + 1) \cdot 2 \cdot (-1) + (z - 1) \cdot 0 \cdot (-1)] - [(z - 1) \cdot 1 \cdot (-1) + x \cdot 2 \cdot (-1) + (y + 1) \cdot 0 \cdot 0] = 0$$ $$[0 - 2(y + 1) + 0] - [-(z - 1) - 2x + 0] = 0$$ $$-2y - 2 + z - 1 + 2x = 0$$ $$2x - 2y + z - 3 = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si un plano contiene a una recta, su vector normal debe ser perpendicular al vector director de dicha recta. ✅ **Resultado:** $$\boxed{2x - 2y + z - 3 = 0}$$

**b) (0.5 puntos) Encontrar el punto $S$ contenido en $r$ tal que el vector $\vec{SP}$ sea perpendicular a la recta $r$.** Primero, escribimos la ecuación de la recta $r$ en forma paramétrica usando el punto $Q(1, 0, 1)$ y el vector $\vec{v} = (0, 1, 2)$: $$r: \begin{cases} x = 1 \\ y = \lambda \\ z = 1 + 2\lambda \end{cases}$$ Cualquier punto $S$ de la recta tiene la forma $S(1, \lambda, 1 + 2\lambda)$. El vector $\vec{SP}$ se define como: $$\vec{SP} = P - S = (0 - 1, -1 - \lambda, 1 - (1 + 2\lambda)) = (-1, -1 - \lambda, -2\lambda)$$ Para que $\vec{SP}$ sea perpendicular a la recta $r$, su producto escalar con el vector director $\vec{v}$ debe ser cero: $$\vec{SP} \cdot \vec{v} = 0 \implies (-1, -1 - \lambda, -2\lambda) \cdot (0, 1, 2) = 0$$ $$(-1)(0) + (-1 - \lambda)(1) + (-2\lambda)(2) = 0$$ $$-1 - \lambda - 4\lambda = 0 \implies -5\lambda = 1 \implies \lambda = -\frac{1}{5}$$ Sustituimos el valor de $\lambda$ en las coordenadas de $S$: $$x = 1, \quad y = -\frac{1}{5}, \quad z = 1 + 2\left(-\frac{1}{5}\right) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$$ 💡 **Tip:** El punto $S$ buscado es la proyección ortogonal del punto $P$ sobre la recta $r$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{S\left(1, -\frac{1}{5}, \frac{3}{5}\right)}$$

**c) (1.5 punto) Hallar el área del triángulo cuyos vértices son el punto $P$ y dos puntos $T_1, T_2$, contenidos en la recta $r$, que están a distancia $\sqrt{5}$ de $P$.** Los puntos $T$ pertenecen a $r$, por lo que tienen la forma $T(1, \lambda, 1 + 2\lambda)$. La distancia de $P(0, -1, 1)$ a $T$ debe ser $\sqrt{5}$: $$d(P, T) = |\vec{PT}| = \sqrt{(1-0)^2 + (\lambda - (-1))^2 + (1 + 2\lambda - 1)^2} = \sqrt{5}$$ Elevamos al cuadrado ambos miembros: $$1^2 + (\lambda + 1)^2 + (2\lambda)^2 = 5$$ $$1 + \lambda^2 + 2\lambda + 1 + 4\lambda^2 = 5 \implies 5\lambda^2 + 2\lambda - 3 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$\lambda = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(5)(-3)}}{2(5)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 60}}{10} = \frac{-2 \pm 8}{10}$$ Esto nos da dos valores de $\lambda$: - $\lambda_1 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \implies T_1(1, \frac{3}{5}, 1 + \frac{6}{5}) = T_1(1, \frac{3}{5}, \frac{11}{5})$ - $\lambda_2 = \frac{-10}{10} = -1 \implies T_2(1, -1, 1 - 2) = T_2(1, -1, -1)$ 💡 **Tip:** Los puntos que están a una distancia fija de un punto $P$ sobre una recta son siempre simétricos respecto a la proyección de $P$ sobre dicha recta ($S$).

El área de un triángulo con vértices $P, T_1, T_2$ se calcula mediante el módulo del producto vectorial: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{PT_1} \times \vec{PT_2}|$$ Calculamos los vectores: $$\vec{PT_1} = (1 - 0, \frac{3}{5} - (-1), \frac{11}{5} - 1) = (1, \frac{8}{5}, \frac{6}{5})$$ $$\vec{PT_2} = (1 - 0, -1 - (-1), -1 - 1) = (1, 0, -2)$$ Realizamos el producto vectorial paso a paso: $$\vec{PT_1} \times \vec{PT_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 8/5 & 6/5 \\ 1 & 0 & -2 \end{vmatrix}$$ $$= \mathbf{i} \left( \frac{8}{5} \cdot (-2) - 0 \right) - \mathbf{j} \left( 1 \cdot (-2) - 1 \cdot \frac{6}{5} \right) + \mathbf{k} \left( 1 \cdot 0 - 1 \cdot \frac{8}{5} \right)$$ $$= -\frac{16}{5} \mathbf{i} - \left( -2 - \frac{6}{5} \right) \mathbf{j} - \frac{8}{5} \mathbf{k} = \left( -\frac{16}{5}, \frac{16}{5}, -\frac{8}{5} \right)$$ Calculamos el módulo: $$|\vec{PT_1} \times \vec{PT_2}| = \sqrt{\left(-\frac{16}{5}\right)^2 + \left(\frac{16}{5}\right)^2 + \left(-\frac{8}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{256}{25} + \frac{256}{25} + \frac{64}{25}} = \sqrt{\frac{576}{25}} = \frac{24}{5}$$ Finalmente, el área es: $$\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot \frac{24}{5} = \frac{12}{5} = 2.4 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = 2.4 \text{ u}^2}$$