Análisis gráfico: continuidad, derivabilidad e integración

**a) (0.5 puntos) Indicar los valores de $f(-1)$ y $f'(1)$.** Para obtener los valores solicitados, analizamos el comportamiento de la gráfica en los puntos indicados: 1. **Valor de $f(-1)$:** Observamos en la gráfica que cuando $x = -1$, la función alcanza su punto más alto en ese tramo. El punto correspondiente es $(-1, 1)$. Por lo tanto: $$f(-1) = 1$$ 2. **Valor de $f'(1)$:** La derivada en un punto representa la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto. En el intervalo $(0, 2]$, la gráfica es una línea recta que pasa por el origen $(0,0)$ y por el punto $(2,1)$. Calculamos su pendiente ($m$): $$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - 0}{2 - 0} = \frac{1}{2}$$ Como $x = 1$ se encuentra dentro de este tramo rectilíneo, la pendiente de la tangente es constante en todo el intervalo. 💡 **Tip:** Recuerda que si una función es una recta $y = mx + n$, su derivada en cualquier punto de esa recta es simplemente la pendiente $m$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(-1) = 1, \quad f'(1) = \frac{1}{2}}$$

**b) (1 punto) Justificar, usando límites laterales, si $f$ es continua en los puntos $x = -1$ y $x = 0$.** Una función es continua en $x=a$ si $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$. **Para $x = -1$:** - Límite por la izquierda: $\lim_{x \to -1^-} f(x) = 1$ - Límite por la derecha: $\lim_{x \to -1^+} f(x) = 1$ - Valor de la función: $f(-1) = 1$ Como los límites laterales coinciden y son iguales al valor de la función, **$f$ es continua en $x = -1$**. **Para $x = 0$:** - Límite por la izquierda: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$ - Límite por la derecha: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$ - Valor de la función: $f(0) = 0$ Como los límites laterales coinciden y son iguales al valor de la función, **$f$ es continua en $x = 0$**. 💡 **Tip:** Gráficamente, una función es continua si se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel. En ambos puntos no hay saltos ni huecos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{f es continua en } x = -1 \text{ y en } x = 0}$$

**c) (0.5 puntos) Indicar razonadamente si $f$ es derivable en los puntos $x = -1$ y $x = 0$.** La derivabilidad requiere que la función sea continua y que las derivadas laterales (pendientes a ambos lados) coincidan, de modo que no haya "picos". 1. **En $x = -1$:** La gráfica presenta una curvatura suave y alcanza un máximo relativo. La pendiente de la recta tangente va pasando de valores positivos a negativos de forma suave, siendo horizontal exactamente en $x = -1$. No hay cambios bruscos de dirección. Por tanto, **$f$ es derivable en $x = -1$** (con $f'(-1) = 0$). 2. **En $x = 0$:** Aunque la función es continua, observamos un **punto anguloso** (un cambio brusco de pendiente). - Por la izquierda ($x \to 0^-$), la curva (que parece un semicírculo) llega al eje con una pendiente muy pronunciada (en este caso, la tangente tiende a ser vertical). - Por la derecha ($x \to 0^+$), la función es una recta con pendiente constante $1/2$. Al no coincidir las pendientes por ambos lados, **$f$ no es derivable en $x = 0$**. 💡 **Tip:** Visualmente, si hay un "pico" o esquina en la gráfica, la función no es derivable en ese punto.

**d) (0.5 puntos) Determinar el valor de $\int_{-2}^0 f(x) dx$.** La integral definida $\int_{-2}^0 f(x) dx$ representa el área geométrica encerrada entre la gráfica de la función y el eje $X$ en el intervalo $[-2, 0]$, ya que en ese tramo la función es siempre positiva. Observando la figura, la región entre $x = -2$ y $x = 0$ corresponde a un **semicírculo** de radio $r = 1$ (centrado en $(-1, 0)$). El área de un círculo completo es $A = \pi \cdot r^2$. El valor de nuestra integral será la mitad de dicha área: $$\int_{-2}^0 f(x) dx = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot r^2$$ Sustituimos el radio $r = 1$: $$\int_{-2}^0 f(x) dx = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot (1)^2 = \frac{\pi}{2}$$ 💡 **Tip:** Cuando la función tiene una forma geométrica conocida (triángulo, rectángulo, semicírculo), es mucho más sencillo calcular la integral mediante el área geométrica que buscando la primitiva. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int_{-2}^0 f(x) dx = \frac{\pi}{2} \approx 1.5708}$$