Álgebra 2018 Madrid
Problema de sistemas de ecuaciones: Gasto de viaje por países
Ejercicio 1 . Calificación máxima: 2.5 puntos.
Un grupo de estudiantes ha realizado un viaje por tres países (Francia, Alemania y Suiza). En los hoteles cada estudiante ha pagado: 20 euros diarios en Francia, 25 euros diarios en Alemania y 30 euros diarios en Suiza. En comidas cada uno ha gastado: 20 euros diarios en Francia, 15 euros diarios en Alemania y 25 euros diarios en Suiza. Además, el transportista les ha cobrado 8 euros diarios a cada uno. Sabiendo que el gasto total del viaje ha sido 765 euros por persona, que ha durado 15 días y que han estado en Francia el doble de días que en Suiza, obtenga el número de días que han estado en cada uno de los tres países.
Paso 1
Definición de variables y análisis de costes diarios
Para resolver el problema, primero definimos las variables que representan lo que queremos hallar:
- $x$: número de días de estancia en **Francia**.
- $y$: número de días de estancia en **Alemania**.
- $z$: número de días de estancia en **Suiza**.
A continuación, calculamos el gasto total diario en cada país sumando hotel, comida y transporte:
- **Francia:** $20 \text{ (hotel)} + 20 \text{ (comida)} + 8 \text{ (transporte)} = 48$ euros/día.
- **Alemania:** $25 \text{ (hotel)} + 15 \text{ (comida)} + 8 \text{ (transporte)} = 48$ euros/día.
- **Suiza:** $30 \text{ (hotel)} + 25 \text{ (comida)} + 8 \text{ (transporte)} = 63$ euros/día.
💡 **Tip:** Agrupar los gastos por país simplifica la ecuación del gasto total, ya que pasamos de tener 9 términos de coste a solo 3.
Paso 2
Planteamiento del sistema de ecuaciones
A partir del enunciado, establecemos las tres ecuaciones que forman nuestro sistema:
1. **Duración total del viaje (15 días):**
$$x + y + z = 15$$
2. **Gasto total del viaje (765 euros):**
$$48x + 48y + 63z = 765$$
3. **Relación entre los días en Francia y Suiza:**
$$x = 2z \implies x - 2z = 0$$
El sistema a resolver es:
$$\begin{cases} x + y + z = 15 \\ 48x + 48y + 63z = 765 \\ x - 2z = 0 \end{cases}$$
💡 **Tip:** Asegúrate de que todas las unidades coinciden (días con días, euros con euros) antes de operar.
Paso 3
Resolución del sistema mediante sustitución
Dado que la tercera ecuación nos da directamente $x$ en función de $z$, utilizaremos el método de sustitución.
**Sustituimos $x = 2z$ en las otras dos ecuaciones:**
En la primera:
$$(2z) + y + z = 15 \implies y + 3z = 15 \implies y = 15 - 3z$$
En la segunda:
$$48(2z) + 48y + 63z = 765 \implies 96z + 48y + 63z = 765 \implies 48y + 159z = 765$$
Ahora sustituimos $y = 15 - 3z$ en esta última ecuación:
$$48(15 - 3z) + 159z = 765$$
$$720 - 144z + 159z = 765$$
$$15z = 765 - 720$$
$$15z = 45 \implies z = \frac{45}{15} = 3$$
💡 **Tip:** El método de sustitución es muy eficiente cuando una de las ecuaciones es tan sencilla como $x=2z$.
Paso 4
Cálculo del resto de variables y solución final
Una vez hallado el valor de $z$, calculamos $x$ e $y$:
- Para $x$:
$$x = 2z = 2(3) = 6 \text{ días}$$
- Para $y$:
$$y = 15 - 3z = 15 - 3(3) = 15 - 9 = 6 \text{ días}$$
**Comprobación:**
- Días: $6 + 6 + 3 = 15$ (Correcto).
- Gasto: $48(6) + 48(6) + 63(3) = 288 + 288 + 189 = 765$ (Correcto).
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{\text{Francia: 6 días, Alemania: 6 días, Suiza: 3 días}}$$