Probabilidad de diabetes y eficacia de un test diagnóstico

**a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que sea diabético y lo sepa?, ¿cuál la de que no sea diabético o no sepa que lo es?** Primero definimos los sucesos principales basados en el enunciado: - $D$: "Ser diabético". - $\bar{D}$: "No ser diabético". - $S$: "Saber que se es diabético". - $\bar{S}$: "No saber que se es diabético". Extraemos los datos en términos de probabilidad: - $P(D) = 0.138$ (el $13.8\%$). - $P(\bar{D}) = 1 - 0.138 = 0.862$. - $P(\bar{S} | D) = 0.43$ (el $43\%$ de los diabéticos no lo sabe). - $P(S | D) = 1 - 0.43 = 0.57$ (el resto de diabéticos sí lo sabe). 💡 **Tip:** Recuerda que las probabilidades condicionadas se refieren a un subgrupo. "El $43\%$ de ellos (los diabéticos)" se traduce como $P(\text{No sabe} | \text{Diabético})$.

Para calcular la probabilidad de que se den ambos sucesos a la vez (intersección), usamos la definición de probabilidad condicionada: $$P(D \cap S) = P(D) \cdot P(S | D)$$ Sustituimos los valores: $$P(D \cap S) = 0.138 \cdot 0.57 = 0.07866$$ ✅ **Resultado (Diabético y lo sabe):** $$\boxed{P(D \cap S) = 0.07866}$$ (Aproximadamente un $7.87\%$)

Se nos pide $P(\bar{D} \cup \bar{S})$. Por las **Leyes de De Morgan**, sabemos que el complementario de la unión es la intersección de los complementarios, y viceversa: $$\bar{D} \cup \bar{S} = \overline{D \cap S}$$ Por tanto: $$P(\bar{D} \cup \bar{S}) = 1 - P(D \cap S)$$ Utilizando el resultado del paso anterior: $$P(\bar{D} \cup \bar{S}) = 1 - 0.07866 = 0.92134$$ 💡 **Tip:** Las Leyes de De Morgan son fundamentales: $P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 1 - P(A \cap B)$. ✅ **Resultado (No diabético o no lo sabe):** $$\boxed{P(\bar{D} \cup \bar{S}) = 0.92134}$$

**b) (1.5 puntos) Cierto test diagnostica correctamente el $96\%$ de los casos positivos de diabetes, pero da un $2\%$ de falsos positivos. Si un español mayor de 18 años da positivo en el test, ¿cuál es la probabilidad de que realmente sea diabético?** Definimos el nuevo suceso relativo al test: - $T+$: "El test da positivo". - $T-$: "El test da negativo". Datos del test: - $P(T+ | D) = 0.96$ (Sensibilidad del test). - $P(T+ | \bar{D}) = 0.02$ (Falsos positivos). Representamos la situación con un árbol de probabilidad:

Queremos hallar $P(D | T+)$. Según el **Teorema de Bayes**, primero necesitamos la probabilidad total de dar positivo, $P(T+)$. Por el Teorema de la Probabilidad Total: $$P(T+) = P(D) \cdot P(T+ | D) + P(\bar{D}) \cdot P(T+ | \bar{D})$$ Sustituyendo los valores del árbol: $$P(T+) = (0.138 \cdot 0.96) + (0.862 \cdot 0.02)$$ $$P(T+) = 0.13248 + 0.01724 = 0.14972$$ 💡 **Tip:** $P(T+)$ es la suma de todas las ramas que terminan en un resultado positivo.

Ahora aplicamos la fórmula de Bayes para hallar la probabilidad de ser diabético sabiendo que el test ha sido positivo: $$P(D | T+) = \frac{P(D) \cdot P(T+ | D)}{P(T+)}$$ Introducimos los valores calculados: $$P(D | T+) = \frac{0.13248}{0.14972} \approx 0.88485$$ Esto significa que si una persona da positivo, tiene una probabilidad del $88.49\%$ de ser realmente diabética. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P(D | T+) \approx 0.8849}$$