Vectores y paralelogramos en el espacio

**a) (1 punto) Determinar un vector $\vec{w}_1$ que sea ortogonal a $\vec{u}$ y $\vec{v}$, unitario y con tercera coordenada negativa.** Para obtener un vector ortogonal a dos vectores dados, $\vec{u}$ y $\vec{v}$, calculamos su producto vectorial: $$\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante desarrollando por la primera fila: $$\vec{w} = \vec{i} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 0 \end{vmatrix}$$ $$\vec{w} = \vec{i}(-2 - 0) - \vec{j}(1 - 6) + \vec{k}(0 - 4) = -2\vec{i} + 5\vec{j} - 4\vec{k}$$ Por tanto, un vector ortogonal es $\vec{w} = (-2, 5, -4)$. 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{a} \times \vec{b}$ siempre genera un vector perpendicular tanto a $\vec{a}$ como a $\vec{b}$.

Para que el vector sea unitario, debemos dividirlo por su módulo. Calculamos el módulo de $\vec{w}$: $$|\vec{w}| = \sqrt{(-2)^2 + 5^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 25 + 16} = \sqrt{45}$$ Simplificando el radical: $$|\vec{w}| = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$$ El vector unitario será $\vec{w}_1 = \pm \frac{\vec{w}}{|\vec{w}|}$. El enunciado nos pide que la **tercera coordenada sea negativa**. En nuestro vector $\vec{w} = (-2, 5, -4)$, la tercera coordenada ya es $-4$ (negativa), por lo que tomamos el signo positivo: $$\vec{w}_1 = \frac{1}{3\sqrt{5}}(-2, 5, -4) = \left( \frac{-2}{3\sqrt{5}}, \frac{5}{3\sqrt{5}}, \frac{-4}{3\sqrt{5}} \right)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\vec{w}_1 = \left( -\frac{2\sqrt{5}}{15}, \frac{\sqrt{5}}{3}, -\frac{4\sqrt{5}}{15} \right)}$$

**b) (0.75 puntos) Hallar un vector no nulo $\vec{w}_2$ que sea combinación lineal de $\vec{u}$ y $\vec{v}$ y ortogonal a $\vec{v}$.** Definimos $\vec{w}_2$ como combinación lineal de $\vec{u}$ y $\vec{v}$: $$\vec{w}_2 = a\vec{u} + b\vec{v} = a(-1, 2, 3) + b(2, 0, -1) = (-a+2b, 2a, 3a-b)$$ Imponemos la condición de ortogonalidad con $\vec{v}$ (su producto escalar debe ser cero): $$\vec{w}_2 \cdot \vec{v} = 0 \implies (a\vec{u} + b\vec{v}) \cdot \vec{v} = 0$$ $$a(\vec{u} \cdot \vec{v}) + b(\vec{v} \cdot \vec{v}) = 0$$ Calculamos los productos escalares: $\vec{u} \cdot \vec{v} = (-1)(2) + (2)(0) + (3)(-1) = -2 + 0 - 3 = -5$ $\vec{v} \cdot \vec{v} = (2)^2 + (0)^2 + (-1)^2 = 4 + 0 + 1 = 5$ Sustituimos: $$-5a + 5b = 0 \implies 5a = 5b \implies a = b$$ Como buscamos un vector no nulo, podemos tomar arbitrariamente $a = 1, b = 1$: $$\vec{w}_2 = 1\vec{u} + 1\vec{v} = (-1+2, 2+0, 3-1) = (1, 2, 2)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\vec{w}_2 = (1, 2, 2)}$$

**c) (0.75 puntos) Determinar los vértices del paralelogramo cuyos lados tienen las direcciones de los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ y una de sus diagonales es el segmento $\vec{OA}$.** El punto $O$ es el origen $(0,0,0)$ y el punto $A$ es $(-4, 4, 7)$. Si $\vec{OA}$ es una diagonal y los lados siguen las direcciones de $\vec{u}$ y $\vec{v}$, podemos expresar el vector $\vec{OA}$ como suma de dos vectores proporcionales a ellos: $$\vec{OA} = \alpha \vec{u} + \beta \vec{v}$$ $$(-4, 4, 7) = \alpha(-1, 2, 3) + \beta(2, 0, -1)$$ Esto genera el sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} -\alpha + 2\beta = -4 \\ 2\alpha = 4 \implies \alpha = 2 \\ 3\alpha - \beta = 7 \end{cases}$$ Sustituimos $\alpha = 2$ en la tercera ecuación: $$3(2) - \beta = 7 \implies 6 - \beta = 7 \implies \beta = -1$$ Comprobamos en la primera ecuación: $$-(2) + 2(-1) = -2 - 2 = -4 \quad \text{(Correcto)}$$ Los vértices del paralelogramo son: 1. El origen: **$V_0 = O(0, 0, 0)$** 2. El extremo de la diagonal: **$V_3 = A(-4, 4, 7)$** 3. El vértice en la dirección de $\vec{u}$: $V_1 = \alpha \vec{u} = 2(-1, 2, 3) = (-2, 4, 6)$ 4. El vértice en la dirección de $\vec{v}$: $V_2 = \beta \vec{v} = -1(2, 0, -1) = (-2, 0, 1)$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{V_0(0,0,0), V_1(-2,4,6), V_2(-2,0,1), V_3(-4,4,7)}$$