Continuidad, asíntotas e integral de una función definida a trozos

**a) (0.75 puntos) Estudiar la continuidad de $f$ en $x = 2$.** Para que una función sea continua en un punto $x=a$, deben coincidir el valor de la función y los límites laterales en dicho punto: $f(a) = \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)$. 1. **Valor de la función en $x=2$:** Usamos la primera rama ($x \le 2$): $$f(2) = 8e^{2(2)-4} = 8e^{4-4} = 8e^0 = 8\cdot 1 = 8.$$ 2. **Límite por la izquierda ($x \to 2^-$):** $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} 8e^{2x-4} = 8e^{2(2)-4} = 8.$$ 3. **Límite por la derecha ($x \to 2^+$):** Usamos la segunda rama ($x > 2$): $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{x^3 - 4x}{x - 2}$$ Al sustituir $x=2$, obtenemos la indeterminación $\frac{0}{0}$. Factorizamos el numerador para resolverla: $$x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2)$$ Sustituimos en el límite: $$\lim_{x \to 2^+} \frac{x(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^+} x(x + 2) = 2(2 + 2) = 8.$$ Como $f(2) = \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = 8$, no hay salto entre las ramas. 💡 **Tip:** Cuando obtengas $\frac{0}{0}$ en funciones racionales, busca simplificar factores comunes antes de aplicar L'Hôpital si la factorización es sencilla. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ es continua en } x = 2}$$

**b) (1 punto) Calcular las asíntotas horizontales de $f(x)$. ¿Hay alguna asíntota vertical?** **Asíntotas horizontales:** Buscamos los límites en el infinito para cada rama: 1. **Cuando $x \to -\infty$ (rama izquierda):** $$\lim_{x \to -\infty} 8e^{2x-4} = 8e^{-\infty} = 0$$ Esto indica que existe una asíntota horizontal en **$y = 0$** por la izquierda. 2. **Cuando $x \to +\infty$ (rama derecha):** $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 - 4x}{x - 2}$$ Como el grado del numerador (3) es mayor que el del denominador (1), el límite es infinito: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 - 4x}{x - 2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{x} = \lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$$ No hay asíntota horizontal por la derecha. 💡 **Tip:** Una asíntota horizontal $y=L$ existe si el límite de la función cuando $x$ tiende a infinito es un número real $L$. ✅ **Resultado (A. Horizontales):** $$\boxed{y = 0 \text{ (solo cuando } x \to -\infty)}$$

**Asíntotas verticales:** Las asíntotas verticales suelen aparecer en los puntos donde la función no está definida (ceros del denominador). 1. En la primera rama ($x \le 2$), la función exponencial es continua en todo su dominio. No hay candidatos. 2. En la segunda rama ($x \gt 2$), el denominador se anula en $x = 2$. Sin embargo, ya hemos comprobado en el apartado (a) que: $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = 8$$ Como el límite es finito, el punto $x = 2$ no es una asíntota vertical (es un punto de continuidad de la función global). Por tanto, la función no tiene asíntotas verticales. ✅ **Resultado (A. Verticales):** $$\boxed{\text{No hay asíntotas verticales}}$$

**c) (0.75 puntos) Calcular $\int_0^2 f(x) dx$.** El intervalo de integración es $[0, 2]$. Según la definición de la función $f(x)$, para todos los valores en este intervalo (donde $x \le 2$), la función toma la forma $8e^{2x-4}$. $$\int_0^2 f(x) dx = \int_0^2 8e^{2x-4} dx$$ Para integrar, recordamos que $\int e^{ax+b} dx = \frac{1}{a} e^{ax+b} + C$. En nuestro caso $a=2$: $$\int 8e^{2x-4} dx = 8 \cdot \frac{1}{2} e^{2x-4} = 4e^{2x-4}$$ Ahora aplicamos la Regla de Barrow: $$\left[ 4e^{2x-4} \right]_0^2 = 4e^{2(2)-4} - 4e^{2(0)-4}$$ $$= 4e^0 - 4e^{-4} = 4(1) - \frac{4}{e^4} = 4 - \frac{4}{e^4}$$ 💡 **Tip:** Si no recuerdas la primitiva directa, puedes hacer el cambio de variable $u = 2x-4 \implies du = 2dx$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int_0^2 f(x) dx = 4 - \frac{4}{e^4} \approx 3.9267}$$