Discusión de sistemas, matrices y determinantes

**a) (1.25 puntos) Discutir el rango de la matriz $A$, en función de los valores del parámetro $\alpha$.** Para discutir el rango de una matriz cuadrada $3 \times 3$, el primer paso es calcular su determinante y ver para qué valores del parámetro se anula. Calculamos $|A|$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 14 & 0 & 10 \\ 0 & 7 & 5 \\ 3 & 4 & 5\alpha \end{vmatrix}$$ $$|A| = (14 \cdot 7 \cdot 5\alpha) + (0 \cdot 5 \cdot 3) + (10 \cdot 0 \cdot 4) - [ (10 \cdot 7 \cdot 3) + (5 \cdot 4 \cdot 14) + (5\alpha \cdot 0 \cdot 0) ]$$ $$|A| = 490\alpha + 0 + 0 - [ 210 + 280 + 0 ]$$ $$|A| = 490\alpha - 490$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$490\alpha - 490 = 0 \implies 490\alpha = 490 \implies \alpha = 1.$$ 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Si el determinante de una matriz $3 \times 3$ es distinto de cero, su rango es automáticamente 3.

Analizamos los casos posibles para el rango de $A$: **Caso 1: $\alpha \neq 1$** En este caso, $|A| \neq 0$. Por tanto, la matriz tiene 3 filas/columnas linealmente independientes. $$\mathbf{rg(A) = 3}$$ **Caso 2: $\alpha = 1$** Si $\alpha = 1$, el determinante $|A| = 0$, por lo que $rg(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 que sea distinto de cero en la matriz: $$A = \begin{pmatrix} 14 & 0 & 10 \\ 0 & 7 & 5 \\ 3 & 4 & 5 \end{pmatrix}$$ Tomamos, por ejemplo, el menor formado por las dos primeras filas y columnas: $$\begin{vmatrix} 14 & 0 \\ 0 & 7 \end{vmatrix} = 98 \neq 0$$ Como existe al menos un menor de orden 2 no nulo, el rango es 2. $$\mathbf{rg(A) = 2}$$ ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\text{Si } \alpha \neq 1, rg(A) = 3; \text{ si } \alpha = 1, rg(A) = 2}$$

**b) (0.75 puntos) Para $\alpha = 0$, calcular, si es posible, $A^{-1}$.** Primero comprobamos si existe inversa. Según el apartado anterior, si $\alpha = 0$ (que es $\neq 1$), $|A| = 490(0) - 490 = -490$. Como $|A| \neq 0$, la matriz **es invertible**. La fórmula de la matriz inversa es: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t$$ Calculamos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$ para $A = \begin{pmatrix} 14 & 0 & 10 \\ 0 & 7 & 5 \\ 3 & 4 & 0 \end{pmatrix}$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 7 & 5 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} = -20$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 5 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = -(-15) = 15$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 7 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = -21$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 10 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} = -(-40) = 40$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 14 & 10 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = -30$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 14 & 0 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = -56$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 10 \\ 7 & 5 \end{vmatrix} = -70$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 14 & 10 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = -70$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 14 & 0 \\ 0 & 7 \end{vmatrix} = 98$ $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -20 & 15 & -21 \\ 40 & -30 & -56 \\ -70 & -70 & 98 \end{pmatrix} \implies \text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} -20 & 40 & -70 \\ 15 & -30 & -70 \\ -21 & -56 & 98 \end{pmatrix}$$ Dividimos por $|A| = -490$: $$A^{-1} = \frac{1}{-490} \begin{pmatrix} -20 & 40 & -70 \\ 15 & -30 & -70 \\ -21 & -56 & 98 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 2/49 & -4/49 & 1/7 \\ -3/98 & 3/49 & 1/7 \\ 3/70 & 4/35 & -1/5 \end{pmatrix}}$$

**c) (0.5 puntos) Resolver, si es posible, el sistema $AX = B$, en el caso $\alpha = 1$.** Para $\alpha = 1$, sabemos que $rg(A) = 2$. Estudiamos el rango de la matriz ampliada $A^* = (A|B)$: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 14 & 0 & 10 & 2 \\ 0 & 7 & 5 & 37/2 \\ 3 & 4 & 5 & 11 \end{array}\right)$$ Tomamos el menor formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 14 & 0 & 2 \\ 0 & 7 & 37/2 \\ 3 & 4 & 11 \end{vmatrix} = 14(77 - 74) - 0 + 2(0 - 21) = 14(3) - 42 = 42 - 42 = 0$$ Como todos los menores de orden 3 que incluyen la columna $B$ son cero (se puede comprobar con los demás), $rg(A^*) = 2$. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**: - $rg(A) = rg(A^*) = 2$ - Número de incógnitas $n = 3$ - Como $rg(A) = rg(A^*) \lt n$, el sistema es **Compatible Indeterminado** (infinitas soluciones). 💡 **Tip:** Un sistema tiene infinitas soluciones cuando las ecuaciones son dependientes entre sí. Aquí, una ecuación sobra.

Como el sistema es compatible indeterminado con rango 2, eliminamos una ecuación (la tercera, que es combinación de las otras) y parametrizamos una variable. Usamos las dos primeras ecuaciones: $$\begin{cases} 14x + 10z = 2 \\ 7y + 5z = 37/2 \end{cases}$$ Hacemos $z = \lambda$: 1. De la primera ecuación: $14x = 2 - 10\lambda \implies x = \frac{2 - 10\lambda}{14} = \frac{1 - 5\lambda}{7}$ 2. De la segunda ecuación: $7y = \frac{37}{2} - 5\lambda \implies y = \frac{37/2 - 5\lambda}{7} = \frac{37 - 10\lambda}{14}$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} x = \frac{1}{7} - \frac{5}{7}\lambda \\ y = \frac{37}{14} - \frac{5}{7}\lambda \\ z = \lambda \end{cases} \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$