Geometría en el espacio: puntos, rectas y perpendicularidad

**a) [0,5 p.] Compruebe que el punto $P$ no está en la recta $r$ y que el punto $Q$ sí lo está.** Para comprobar si un punto pertenece a una recta dada por la intersección de dos planos, debemos sustituir sus coordenadas en ambas ecuaciones y verificar si se cumplen las igualdades. Para el punto $P(1,1,3)$: 1. Sustituimos en la primera ecuación: $2(1) - (1) - 2(3) = 2 - 1 - 6 = -5$. Como $-5 \neq -3$, la primera ecuación no se cumple. No es necesario comprobar la segunda, pero si lo hiciéramos: $-(1) + (1) = 0 \neq 4$. Para el punto $Q(1,5,0)$: 1. Sustituimos en la primera ecuación: $2(1) - (5) - 2(0) = 2 - 5 - 0 = -3$. **Se cumple**. 2. Sustituimos en la segunda ecuación: $-(1) + (5) = 4$. **Se cumple**. 💡 **Tip:** Un punto pertenece a una recta si y solo si satisface simultáneamente todas las ecuaciones que definen dicha recta. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P \notin r \text{ y } Q \in r}$$

**b) [1,25 p.] Determine el punto $R$ de la recta $r$ tal que el triángulo $PQR$ sea un triángulo rectángulo en $P$.** Primero, necesitamos expresar los puntos de la recta $r$ de forma genérica. Para ello, pasamos la ecuación de la recta a paramétricas. De la segunda ecuación: $y = x + 4$. Sustituimos en la primera: $2x - (x+4) - 2z = -3 \implies x - 4 - 2z = -3 \implies x - 1 = 2z \implies z = \frac{x-1}{2}$. Si hacemos $x = 1 + 2\lambda$, entonces: $$r: \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = 5 + 2\lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ Cualquier punto $R$ de la recta tiene la forma $R(1+2\lambda, 5+2\lambda, \lambda)$. 💡 **Tip:** Al pasar a paramétricas, elegir una variable de forma que evitemos fracciones facilita los cálculos posteriores.

Para que el triángulo $PQR$ sea rectángulo en $P$, los vectores $\vec{PQ}$ y $\vec{PR}$ deben ser perpendiculares, es decir, su producto escalar debe ser cero: $\vec{PQ} \cdot \vec{PR} = 0$. Calculamos los vectores: $$\vec{PQ} = Q - P = (1-1, 5-1, 0-3) = (0, 4, -3)$$ $$\vec{PR} = R - P = (1+2\lambda - 1, 5+2\lambda - 1, \lambda - 3) = (2\lambda, 4+2\lambda, \lambda-3)$$ Planteamos el producto escalar: $$(0, 4, -3) \cdot (2\lambda, 4+2\lambda, \lambda-3) = 0$$ $$0(2\lambda) + 4(4+2\lambda) - 3(\lambda-3) = 0$$ $$16 + 8\lambda - 3\lambda + 9 = 0$$ $$5\lambda + 25 = 0 \implies 5\lambda = -25 \implies \lambda = -5$$ Sustituimos $\lambda = -5$ en las coordenadas de $R$: $$x = 1 + 2(-5) = -9$$ $$y = 5 + 2(-5) = -5$$ $$z = -5$$ ✅ **Resultado (Punto R):** $$\boxed{R(-9, -5, -5)}$$

**c) [0,75 p.] Calcule el área de dicho triángulo $PQR$.** Como el triángulo es rectángulo en $P$, el área se puede calcular simplemente como $\text{Área} = \frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2} = \frac{|\vec{PQ}| \cdot |\vec{PR}|}{2}$. Sin embargo, para seguir un método general, usaremos el producto vectorial: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{PQ} \times \vec{PR}|$$ Primero, calculamos $\vec{PR}$ para $\lambda = -5$: $$\vec{PR} = (2(-5), 4+2(-5), -5-3) = (-10, -6, -8)$$ Ahora realizamos el producto vectorial $\vec{PQ} \times \vec{PR}$: $$\vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 4 & -3 \\ -10 & -6 & -8 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-32 - 18) - \mathbf{j}(0 - 30) + \mathbf{k}(0 - (-40)) = (-50, -30, 40)$$ Calculamos el módulo de este vector: $$|\vec{PQ} \times \vec{PR}| = \sqrt{(-50)^2 + (-30)^2 + 40^2} = \sqrt{2500 + 900 + 1600} = \sqrt{5000} = 50\sqrt{2}$$ El área es: $$\text{Área} = \frac{50\sqrt{2}}{2} = 25\sqrt{2} \approx 35.355 \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** En un triángulo rectángulo, el módulo del producto vectorial es igual al producto de los catetos.

Hemos determinado que el punto $P$ es exterior a la recta $r$ y el punto $Q$ pertenece a ella. Para formar un triángulo rectángulo en $P$, el punto $R$ de la recta debe situarse en las coordenadas $(-9,-5,-5)$, resultando en una superficie de $25\sqrt{2}$ unidades cuadradas. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = 25\sqrt{2} \text{ u}^2}$$