Integral indefinida y cálculo de una primitiva

**a) [1 p.] Calcule la siguiente integral indefinida $\int x \ln x dx$.** Para resolver esta integral, utilizaremos el método de **integración por partes**, ya que tenemos un producto de una función algebraica ($x$) y una función logarítmica ($\ln x$). Recordamos la fórmula de integración por partes: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ Siguiendo la regla mnemotécnica **ALPES** (Arcos, Logaritmos, Potencias, Exponenciales, Senos/Cosenos), elegimos: - $u = \ln x \implies du = \dfrac{1}{x} dx$ - $dv = x \, dx \implies v = \int x \, dx = \dfrac{x^2}{2}$ 💡 **Tip:** Al elegir $u = \ln x$, su derivada simplifica la expresión, mientras que integrar $x$ es inmediato.

Aplicamos la fórmula con los valores obtenidos: $$\int x \ln x \, dx = (\ln x) \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx$$ Simplificamos el interior de la integral: $$\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x \, dx$$ Resolvemos la integral restante: $$\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{2} \right) + C$$ Finalmente, agrupamos términos: $$\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{\frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C}$$

**b) [0,5 p.] Determine la primitiva de la función $f(x) = x \ln x$ que pasa por el punto de coordenadas $(1,0)$.** Una primitiva $F(x)$ es una función tal que $F'(x) = f(x)$. Por el apartado anterior, sabemos que la familia de primitivas es: $$F(x) = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$$ Para que la gráfica pase por el punto $(1, 0)$, se debe cumplir que $F(1) = 0$. Sustituimos $x = 1$ en la expresión: $$F(1) = \frac{1^2}{2} \ln(1) - \frac{1^2}{4} + C = 0$$ Como $\ln(1) = 0$, la ecuación queda: $$\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{4} + C = 0 \implies -\frac{1}{4} + C = 0 \implies C = \frac{1}{4}$$ Sustituimos el valor de $C$ en la expresión general de la primitiva: $$F(x) = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + \frac{1}{4}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el punto $(x, y)$ nos da el valor de la función $F(x) = y$. Aquí $x=1$ e $y=0$. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{F(x) = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + \frac{1}{4}}$$