Derivada y extremos relativos de una función irracional

**a) [1 p.] Calcule la derivada de $f(x)$ y determine sus puntos críticos.** Para calcular la derivada de $f(x) = x\sqrt{18-x^2}$, aplicamos la regla del producto: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. Definimos las partes: - $u = x \implies u' = 1$ - $v = \sqrt{18-x^2} = (18-x^2)^{1/2} \implies v' = \dfrac{1}{2\sqrt{18-x^2}} \cdot (-2x) = \dfrac{-x}{\sqrt{18-x^2}}$ Sustituimos en la fórmula: $$f'(x) = 1 \cdot \sqrt{18-x^2} + x \cdot \left( \dfrac{-x}{\sqrt{18-x^2}} \right)$$ $$f'(x) = \sqrt{18-x^2} - \dfrac{x^2}{\sqrt{18-x^2}}$$ Para simplificar, ponemos común denominador: $$f'(x) = \dfrac{(\sqrt{18-x^2})^2 - x^2}{\sqrt{18-x^2}} = \dfrac{18 - x^2 - x^2}{\sqrt{18-x^2}} = \dfrac{18 - 2x^2}{\sqrt{18-x^2}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de una raíz es $(\sqrt{g(x)})' = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$. ✅ **Resultado de la derivada:** $$\boxed{f'(x) = \dfrac{18 - 2x^2}{\sqrt{18-x^2}}}$$

Los puntos críticos son aquellos valores de $x$ en el dominio para los cuales $f'(x) = 0$. Planteamos la ecuación: $$\dfrac{18 - 2x^2}{\sqrt{18-x^2}} = 0 \implies 18 - 2x^2 = 0$$ $$2x^2 = 18 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$$ Debemos comprobar si estos valores pertenecen al dominio restringido dado en el enunciado ($-4 \lt x \lt 4$): - $x = 3 \in (-4, 4)$ - $x = -3 \in (-4, 4)$ Ambos valores son válidos. ✅ **Puntos críticos:** $$\boxed{x = -3, \quad x = 3}$$

**b) [1 p.] Justifique si la función $f(x)$ tiene algún máximo o mínimo.** Para determinar si los puntos críticos son máximos o mínimos, estudiaremos el signo de la derivada $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos dentro del dominio $(-4, 4)$. Como el denominador $\sqrt{18-x^2}$ siempre es positivo en el dominio, el signo de $f'(x)$ depende únicamente del numerador $18 - 2x^2$. $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-4, -3) & -3 & (-3, 3) & 3 & (3, 4)\\\hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & -\\\hline f(x) & \searrow & \text{mín} & \nearrow & \text{máx} & \searrow \end{array}$$ Análisis de los intervalos: - En $(-4, -3)$, tomamos $x = -3.5$: $18 - 2(-3.5)^2 = 18 - 24.5 = -6.5 \lt 0$. - En $(-3, 3)$, tomamos $x = 0$: $18 - 2(0)^2 = 18 \gt 0$. - En $(3, 4)$, tomamos $x = 3.5$: $18 - 2(3.5)^2 = 18 - 24.5 = -6.5 \lt 0$. 💡 **Tip:** Un cambio de signo de negativo a positivo en la derivada indica un mínimo relativo, y de positivo a negativo indica un máximo relativo. ✅ **Conclusión:** - Existe un **mínimo relativo** en $x = -3$ porque la función pasa de decreciente a creciente. - Existe un **máximo relativo** en $x = 3$ porque la función pasa de creciente a decreciente. $$\boxed{\text{Mínimo en } x=-3, \quad \text{Máximo en } x=3}$$

Calculamos el valor de la función en los puntos críticos para completar la justificación: - Para $x = -3$: $$f(-3) = -3 \cdot \sqrt{18 - (-3)^2} = -3 \cdot \sqrt{18 - 9} = -3 \cdot \sqrt{9} = -9$$ - Para $x = 3$: $$f(3) = 3 \cdot \sqrt{18 - 3^2} = 3 \cdot \sqrt{18 - 9} = 3 \cdot \sqrt{9} = 9$$ ✅ **Coordenadas finales:** $$\boxed{\text{Mínimo: } (-3, -9), \quad \text{Máximo: } (3, 9)}$$