Discusión y resolución de un sistema homogéneo

**a) [1,25 p.] Determine los valores del parámetro $a$ para los que el sistema tiene únicamente la solución trivial $(0,0,0)$.** Un sistema de ecuaciones lineal se dice que es **homogéneo** cuando todos sus términos independientes son cero. Estos sistemas siempre son compatibles (tienen solución), admitiendo al menos la solución trivial $(x,y,z) = (0,0,0)$. Para que la solución trivial sea la **única** solución, el sistema debe ser **Compatible Determinado**. Según el Teorema de Rouché-Frobenius, esto ocurre cuando el rango de la matriz de coeficientes $A$ es igual al número de incógnitas (en este caso, 3). Escribimos la matriz de coeficientes $A$: $$A = \begin{pmatrix} a & 1 & a \\ 1 & 1 & a \\ 2 & a-1 & a \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante $|A|$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = (a \cdot 1 \cdot a) + (1 \cdot (a-1) \cdot a) + (2 \cdot 1 \cdot a) - [ (2 \cdot 1 \cdot a) + (a \cdot (a-1) \cdot a) + (1 \cdot 1 \cdot a) ]$$ $$|A| = a^2 + a^2 - a + 2a - [ 2a + a^3 - a^2 + a ]$$ $$|A| = 2a^2 + a - (a^3 - a^2 + 3a)$$ $$|A| = -a^3 + 3a^2 - 2a$$ 💡 **Tip:** Un sistema homogéneo solo tiene la solución trivial si y solo si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero.

Para hallar cuándo el sistema es Compatible Determinado, igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$-a^3 + 3a^2 - 2a = 0$$ Factorizamos extrayendo factor común $-a$: $$-a(a^2 - 3a + 2) = 0$$ Las raíces de esta ecuación son: 1. $a = 0$ 2. Resolviendo $a^2 - 3a + 2 = 0$ mediante la fórmula general: $$a = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ Obtenemos $a = 2$ y $a = 1$. Por tanto, los valores que anulan el determinante son **$a = 0$, $a = 1$ y $a = 2$**.

Aplicamos el **Teorema de Rouché-Frobenius**: - Si $a \neq 0$, $a \neq 1$ y $a \neq 2$, entonces $|A| \neq 0$. El $\text{rango}(A) = 3 = \text{nº de incógnitas}$. El sistema es **Compatible Determinado**. En este caso, la única solución es la solución trivial. ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{a \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1, 2\}}$$

**b) [1,25 p.] Si es posible, resuélvalo para el valor del parámetro $a = 2$.** Sustituimos $a = 2$ en el sistema: $$\begin{cases} 2x + y + 2z = 0 \\ x + y + 2z = 0 \\ 2x + (2-1)y + 2z = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x + y + 2z = 0 \\ x + y + 2z = 0 \\ 2x + y + 2z = 0 \end{cases}$$ Observamos que la primera y la tercera ecuación son idénticas. El sistema queda reducido a: $$\begin{cases} 2x + y + 2z = 0 \\ x + y + 2z = 0 \end{cases}$$ Como el determinante era cero para $a=2$ y hemos encontrado un menor de orden 2 no nulo (por ejemplo, $\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$), el $\text{rango}(A) = 2$. Al ser un sistema homogéneo con $\text{rango}(A) \lt 3$, es un **Sistema Compatible Indeterminado** (infinitas soluciones). 💡 **Tip:** Cuando el rango es menor que el número de incógnitas, debemos usar parámetros (como $\lambda$) para expresar la solución.

Para resolverlo, asignamos un parámetro a una de las variables. Sea **$z = \lambda$**. El sistema se convierte en: $$\begin{cases} 2x + y = -2\lambda \\ x + y = -2\lambda \end{cases}$$ Restamos la segunda ecuación a la primera para eliminar $y$: $$(2x + y) - (x + y) = -2\lambda - (-2\lambda)$$ $$x = 0$$ Sustituimos $x = 0$ en la segunda ecuación: $$0 + y = -2\lambda \implies y = -2\lambda$$ Por tanto, la solución general depende del parámetro $\lambda \in \mathbb{R}$. ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{(x, y, z) = (0, -2\lambda, \lambda) \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$