Probabilidad de aprobación por sexos en una clase

Para resolver este problema de probabilidad, lo más sencillo es organizar la información en una **tabla de contingencia**. Definimos los sucesos: - $M$: Ser chica. - $H$: Ser chico. - $A$: Aprobar las matemáticas. - $\bar{A}$: No aprobar las matemáticas. Datos del enunciado: - Total de estudiantes: $40$. - Chicas ($M$): $25$. Por tanto, chicos ($H$): $40 - 25 = 15$. - Han aprobado ($A$): $30$. Por tanto, no han aprobado ($\bar{A}$): $40 - 30 = 10$. - Chicos que han aprobado ($H \cap A$): $10$. Completamos el resto de la tabla restando los valores conocidos: - Chicos que no han aprobado ($H \cap \bar{A}$): $15 - 10 = 5$. - Chicas que han aprobado ($M \cap A$): $30 - 10 = 20$. - Chicas que no han aprobado ($M \cap \bar{A}$): $25 - 20 = 5$. **Tabla de contingencia final:** $$\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline & \text{Chicos (H)} & \text{Chicas (M)} & \text{Total} \\ \hline \text{Aprobados (A)} & 10 & 20 & 30 \\ \hline \text{No Aprobados (\bar{A})} & 5 & 5 & 10 \\ \hline \text{Total} & 15 & 25 & 40 \\ \hline \end{array}$$ 💡 **Tip:** En problemas donde se cruzan dos características (sexo y aprobado/suspenso), la tabla de contingencia permite visualizar todas las intersecciones rápidamente.

**a.1) [0,5 p.] ¿Cuál es la probabilidad de que no haya aprobado las matemáticas?** Utilizamos la **Regla de Laplace**, que define la probabilidad como el cociente entre casos favorables y casos totales. - Casos totales: $40$ estudiantes. - Casos favorables (estudiantes que no han aprobado, $\bar{A}$): $10$ estudiantes. $$P(\bar{A}) = \frac{\text{Nº de no aprobados}}{\text{Nº total de estudiantes}} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4} = 0,25$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{A}) = 0,25}$$

**a.2) [0,5 p.] ¿Cuál es la probabilidad de que sea chica y haya aprobado las matemáticas?** Buscamos la probabilidad de la intersección de ser chica ($M$) y haber aprobado ($A$). - Casos totales: $40$ estudiantes. - Casos favorables (chicas que han aprobado, $M \cap A$): Observando la tabla, hay $20$ chicas que aprobaron. $$P(M \cap A) = \frac{\text{Nº de chicas que han aprobado}}{\text{Nº total de estudiantes}} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2} = 0,5$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M \cap A) = 0,5}$$

**b) [0,5 p.] Si se elige un estudiante que ha aprobado las matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que sea una chica?** Estamos ante una **probabilidad condicionada**. Sabemos que el estudiante ha aprobado ($A$), y queremos saber la probabilidad de que sea chica ($M$). La fórmula de la probabilidad condicionada es: $$P(M|A) = \frac{P(M \cap A)}{P(A)}$$ De los pasos anteriores y la tabla sabemos: - Estudiantes que han aprobado ($A$): $30$. - Chicas que han aprobado ($M \cap A$): $20$. Directamente con los datos de la tabla (restringiendo el espacio muestral a los 30 aprobados): $$P(M|A) = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} \approx 0,6667$$ 💡 **Tip:** Cuando te dicen "Si se elige un..." o "Sabiendo que...", te están pidiendo una probabilidad condicionada. El denominador pasa a ser el subgrupo mencionado (en este caso, los 30 aprobados). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M|A) = \frac{2}{3} \approx 0,6667}$$