Rectas paralelas y plano que las contiene

**a) [1,25 p.] Compruebe que ambas rectas son paralelas.** La recta $r$ viene dada como intersección de dos planos. Su vector director $\vec{d_r}$ se puede obtener mediante el producto vectorial de los vectores normales a dichos planos: $\vec{n_1} = (2, -1, 3)$ y $\vec{n_2} = (1, 3, 5)$. Calculamos el producto vectorial paso a paso por Sarrus: $$\vec{d_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \end{vmatrix}$$ $$\vec{d_r} = [(-1) \cdot 5] \vec{i} + [3 \cdot 1] \vec{j} + [2 \cdot 3] \vec{k} - [(-1) \cdot 1] \vec{k} - [3 \cdot 3] \vec{i} - [5 \cdot 2] \vec{j}$$ $$\vec{d_r} = -5\vec{i} + 3\vec{j} + 6\vec{k} + 1\vec{k} - 9\vec{i} - 10\vec{j} = (-14, -7, 7)$$ Podemos simplificar el vector director dividiendo por $7$ (o $-7$) para trabajar con números más sencillos: $$\vec{d_r} = (2, 1, -1)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta definida por dos planos $\pi_1$ y $\pi_2$ es siempre perpendicular a ambos vectores normales, por eso usamos el producto vectorial.

La recta $s$ está expresada en su forma continua: $$s: \frac{x-5}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{-1}$$ De aquí extraemos directamente su vector director: $$\vec{d_s} = (2, 1, -1)$$ Observamos que los vectores directores de ambas rectas son iguales (o proporcionales): $$\vec{d_r} = (2, 1, -1) = \vec{d_s}$$ Esto indica que las rectas son **paralelas o coincidentes**. 💡 **Tip:** Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son proporcionales, es decir, $\vec{d_r} = k \cdot \vec{d_s}$.

Para comprobar si son paralelas (no coincidentes), basta con verificar que un punto de $s$ no pertenece a $r$. Un punto de $s$ es $P_s = (5, 0, 0)$. Sustituimos sus coordenadas en las ecuaciones de $r$: 1ª ecuación: $2(5) - (0) + 3(0) = 10 \neq 3$ Como el punto $P_s$ no satisface la primera ecuación de la recta $r$, el punto no pertenece a $r$. Por tanto, las rectas no son coincidentes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ son paralelas.}}$$

**b) [1,25 p.] Determine la ecuación (en cualquiera de sus formas) del plano que contiene a ambas rectas.** Para determinar el plano $\pi$ que contiene a dos rectas paralelas, necesitamos: 1. Un punto de una de las rectas, por ejemplo $P_s = (5, 0, 0)$. 2. El vector director de las rectas: $\vec{u} = \vec{d_s} = (2, 1, -1)$. 3. Un segundo vector director $\vec{v}$ que una un punto de $r$ con un punto de $s$. Buscamos un punto $P_r$ en la recta $r$. Si hacemos $z=0$ en el sistema de $r$: $$\begin{cases} 2x - y = 3 \\ x + 3y = 1 \end{cases}$$ De la segunda ecuación: $x = 1 - 3y$. Sustituimos en la primera: $$2(1-3y) - y = 3 \implies 2 - 6y - y = 3 \implies -7y = 1 \implies y = -1/7$$ Entonces, $x = 1 - 3(-1/7) = 1 + 3/7 = 10/7$. Tenemos $P_r = \left(\frac{10}{7}, -\frac{1}{7}, 0\right)$. Calculamos el vector $\vec{P_r P_s}$: $$\vec{P_r P_s} = (5 - 10/7, 0 - (-1/7), 0 - 0) = \left(\frac{25}{7}, \frac{1}{7}, 0\right)$$ Para simplificar los cálculos del plano, podemos usar un vector proporcional a $\vec{P_r P_s}$ multiplicando por $7$: $$\vec{v} = (25, 1, 0)$$ 💡 **Tip:** Para definir un plano que contiene a dos rectas paralelas, se usa el vector director de la recta y un vector que conecte ambas rectas.

La ecuación del plano $\pi$ viene dada por el determinante formado por un punto genérico $X(x,y,z)$, el punto $P_s$ y los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$: $$\begin{vmatrix} x - 5 & y - 0 & z - 0 \\ 2 & 1 & -1 \\ 25 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos por la primera fila o mediante la regla de Sarrus: $$(x-5) \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} - y \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 25 & 0 \end{vmatrix} + z \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 25 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ $$(x-5)(0 - (-1)) - y(0 - (-25)) + z(2 - 25) = 0$$ $$(x-5)(1) - y(25) + z(-23) = 0$$ $$x - 5 - 25y - 23z = 0$$ Reordenando los términos obtenemos la ecuación general del plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x - 25y - 23z - 5 = 0}$$