Integral indefinida y cálculo de áreas

**a) [1 p.] Calcule la siguiente integral indefinida $\int \operatorname{sen} x e^{\cos x} dx$.** Observamos que la integral tiene la forma de una integral casi inmediata del tipo exponencial. Recordamos la fórmula: $$\int f'(x) e^{f(x)} dx = e^{f(x)} + C$$ En nuestro caso, el exponente es $f(x) = \cos x$. Su derivada es $f'(x) = -\operatorname{sen} x$. En el integrando tenemos $\operatorname{sen} x$, por lo que solo necesitamos ajustar un signo negativo para tener la derivada exacta del exponente. 💡 **Tip:** Siempre que veas una función exponencial multiplicada por otra función, comprueba si esa función es (o puede ser) la derivada del exponente.

Introducimos el signo menos dentro y fuera de la integral para no alterar la expresión: $$\int \operatorname{sen} x e^{\cos x} dx = -\int (-\operatorname{sen} x) e^{ \cos x} dx$$ Ahora, aplicando la regla de integración de la función exponencial: $$-\int (-\operatorname{sen} x) e^{\cos x} dx = -e^{\cos x} + C$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{\int \operatorname{sen} x e^{\cos x} dx = -e^{\cos x} + C}$$

**b) [0,5 p.] Determine el área del recinto limitado por el eje OX, las rectas verticales $x = 0$ y $x = \pi/2$, y la gráfica de la función $f(x) = \operatorname{sen} x e^{\cos x}$.** El área $A$ viene dada por la integral definida de la función entre los límites indicados, $x=0$ y $x=\pi/2$. Primero, comprobamos si la función cambia de signo en el intervalo $[0, \pi/2]$: - En el intervalo $(0, \pi/2)$, $\operatorname{sen} x > 0$. - La función exponencial $e^{\cos x}$ siempre es positiva. Como $f(x) \ge 0$ en todo el intervalo, el área es simplemente la integral definida: $$A = \int_{0}^{\pi/2} \operatorname{sen} x e^{\cos x} dx$$ 💡 **Tip:** El área bajo una función positiva coincide con la integral definida. Si la función tuviera tramos negativos, habría que integrar el valor absoluto o separar la integral en recintos.

Utilizamos la primitiva hallada en el apartado anterior, $F(x) = -e^{\cos x}$, y aplicamos la Regla de Barrow: $$A = \left[ -e^{\cos x} \right]_{0}^{\pi/2} = F(\pi/2) - F(0)$$ Calculamos los valores: 1. Para $x = \pi/2$: $-e^{\cos(\pi/2)} = -e^0 = -1$ 2. Para $x = 0$: $-e^{\cos(0)} = -e^1 = -e$ Restamos los valores: $$A = (-1) - (-e) = -1 + e = e - 1$$ El valor aproximado es $2.718 - 1 \approx 1.718$ unidades de área. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{Area = e - 1 \text{ u}^2}$$