Cálculo de límites: Indeterminaciones y Regla de L'Hôpital

**a) [1 p.] $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+2} - \sqrt{x^2-2})$.** En primer lugar, evaluamos el límite sustituyendo $x$ por $+\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2+2} - \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2-2} = \infty - \infty$$ Estamos ante una indeterminación del tipo **$\infty - \infty$**. Al tratarse de una diferencia de raíces cuadradas del mismo grado, aplicaremos la técnica de multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión. 💡 **Tip:** El conjugado de $(\sqrt{A} - \sqrt{B})$ es $(\sqrt{A} + \sqrt{B})$. Al multiplicarlos, obtenemos una diferencia de cuadrados: $(\sqrt{A} - \sqrt{B})(\sqrt{A} + \sqrt{B}) = A - B$.

Multiplicamos y dividimos por el conjugado $\sqrt{x^2+2} + \sqrt{x^2-2}$: $$\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+2} - \sqrt{x^2-2}) = \lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x^2+2} - \sqrt{x^2-2})(\sqrt{x^2+2} + \sqrt{x^2-2})}{\sqrt{x^2+2} + \sqrt{x^2-2}}$$ Aplicamos la identidad notable $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ en el numerador: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{(x^2+2) - (x^2-2)}{\sqrt{x^2+2} + \sqrt{x^2-2}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 2 - x^2 + 2}{\sqrt{x^2+2} + \sqrt{x^2-2}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{4}{\sqrt{x^2+2} + \sqrt{x^2-2}}$$ Ahora, evaluamos el límite cuando $x$ tiende a $+\infty$. El numerador es constante ($4$) y el denominador tiende a $+\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{4}{\sqrt{x^2+2} + \sqrt{x^2-2}} = \frac{4}{\infty} = 0$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{0}$$

**b) [1 p.] $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos x + \operatorname{sen} x)}{x}$.** Evaluamos el límite en $x = 0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos 0 + \operatorname{sen} 0)}{0} = \frac{\ln(1 + 0)}{0} = \frac{\ln(1)}{0} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos la indeterminación **$0/0$**. Dado que tanto el numerador como el denominador son funciones derivables en un entorno de $0$, aplicaremos la **Regla de L'Hôpital**. 💡 **Tip:** La Regla de L'Hôpital nos dice que si $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$, entonces el límite es igual a $\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ si este último existe.

Derivamos el numerador y el denominador por separado: - Numerador: $f(x) = \ln(\cos x + \operatorname{sen} x) \implies f'(x) = \frac{(\cos x + \operatorname{sen} x)'}{\cos x + \operatorname{sen} x} = \frac{-\operatorname{sen} x + \cos x}{\cos x + \operatorname{sen} x}$ - Denominador: $g(x) = x \implies g'(x) = 1$ Aplicamos el límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos x + \operatorname{sen} x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{-\operatorname{sen} x + \cos x}{\cos x + \operatorname{sen} x}}{1}$$ $$\lim_{x \to 0} \frac{-\operatorname{sen} x + \cos x}{\cos x + \operatorname{sen} x} = \frac{-\operatorname{sen}(0) + \cos(0)}{\cos(0) + \operatorname{sen}(0)}$$ Sustituimos los valores trigonométricos ($\cos 0 = 1$ y $\operatorname{sen} 0 = 0$): $$\frac{-0 + 1}{1 + 0} = \frac{1}{1} = 1$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{1}$$