Inversa de una matriz y ecuación matricial

**a) [1 p.] Compruebe que la matriz $A$ es regular (o invertible) y calcule su inversa.** Una matriz cuadrada es regular (invertible) si su determinante es distinto de cero. Calculamos el determinante de $A$: $$\det(A) = |A| = \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} = (-2) \cdot (-2) - (1) \cdot (3) = 4 - 3 = 1.$$ Como $|A| = 1 \neq 0$, la matriz **$A$ es regular** y, por tanto, existe su inversa $A^{-1}$. 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz $A$ tiene inversa si y solo si $\det(A) \neq 0$. En este caso, al ser el determinante igual a 1, los cálculos de la inversa se simplificarán notablemente.

Para calcular la matriz inversa $A^{-1}$ utilizaremos la fórmula: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^T$$ 1. Hallamos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$: - $C_{11} = +(-2) = -2$ - $C_{12} = -(3) = -3$ - $C_{21} = -(1) = -1$ - $C_{22} = +(-2) = -2$ $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -2 & -3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$$ 2. Calculamos la traspuesta de la matriz de adjuntos: $$\text{Adj}(A)^T = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -3 & -2 \end{pmatrix}$$ 3. Dividimos por el determinante ($|A|=1$): $$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -3 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -3 & -2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz inversa):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -3 & -2 \end{pmatrix}}$$

**b) [1,5 p.] Determine la matriz $X$ que cumple la ecuación $AX = A+A^T$, donde $A^T$ es la matriz traspuesta de $A$.** Primero, despejamos la matriz $X$ en la ecuación $AX = A+A^T$. Para ello, multiplicamos por la izquierda por $A^{-1}$ en ambos miembros: $$A^{-1}(AX) = A^{-1}(A+A^T)$$ $$(A^{-1}A)X = A^{-1}(A+A^T)$$ $$IX = A^{-1}(A+A^T)$$ $$X = A^{-1}(A+A^T)$$ Donde $I$ es la matriz identidad. 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden de la multiplicación es crucial ya que el producto de matrices no es conmutativo. Si multiplicamos por $A^{-1}$ por la izquierda en un lado, debemos hacerlo por la izquierda en el otro.

Calculamos primero la traspuesta de $A$ intercambiando filas por columnas: $$A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \implies A^T = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$$ Ahora realizamos la suma $B = A + A^T$: $$B = A + A^T = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2-2 & 1+3 \\ 3+1 & -2-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 4 \\ 4 & -4 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{A + A^T = \begin{pmatrix} -4 & 4 \\ 4 & -4 \end{pmatrix}}$$

Sustituimos $A^{-1}$ y la suma calculada en la expresión de $X$: $$X = A^{-1} \cdot (A+A^T) = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -3 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -4 & 4 \\ 4 & -4 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Fila 1 $\times$ Columna 1: $(-2)(-4) + (-1)(4) = 8 - 4 = 4$ - Fila 1 $\times$ Columna 2: $(-2)(4) + (-1)(-4) = -8 + 4 = -4$ - Fila 2 $\times$ Columna 1: $(-3)(-4) + (-2)(4) = 12 - 8 = 4$ - Fila 2 $\times$ Columna 2: $(-3)(4) + (-2)(-4) = -12 + 8 = -4$ $$X = \begin{pmatrix} 4 & -4 \\ 4 & -4 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 4 & -4 \\ 4 & -4 \end{pmatrix}}$$