Plano perpendicular a una recta y distancia de punto a plano

**a) [1,25 p.] Calcule la ecuación (en cualquiera de sus formas) del plano $\pi$ que es perpendicular a la recta $r$ y pasa por el punto $P$.** Para que un plano sea perpendicular a una recta, el vector director de dicha recta, $\vec{v}_r$, debe ser paralelo al vector normal del plano, $\vec{n}_\pi$. Por simplicidad, tomaremos $\vec{n}_\pi = \vec{v}_r$. La recta $r$ viene dada como intersección de dos planos. Su vector director se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos: $\vec{n}_1 = (2, 1, -1)$ y $\vec{n}_2 = (1, -1, 1)$. Calculamos $\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ mediante un determinante resuelto por Sarrus: $$\vec{v}_r = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v}_r = [1 \cdot 1 \cdot \vec{i} + 2 \cdot (-1) \cdot \vec{k} + 1 \cdot (-1) \cdot \vec{j}] - [1 \cdot 1 \cdot \vec{k} + (-1) \cdot (-1) \cdot \vec{i} + 2 \cdot 1 \cdot \vec{j}]$$ $$\vec{v}_r = (\vec{i} - 2\vec{k} - \vec{j}) - (\vec{k} + \vec{i} + 2\vec{j})$$ $$\vec{v}_r = (1-1)\vec{i} + (-1-2)\vec{j} + (-2-1)\vec{k} = (0, -3, -3)$$ Podemos simplificar el vector director dividiendo por $-3$ para trabajar con valores más cómodos: $$\vec{v}_r = (0, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial de los vectores normales de los planos que definen una recta siempre nos da la dirección de dicha recta.

Como el plano $\pi$ es perpendicular a $r$, su vector normal será $\vec{n}_\pi = (0, 1, 1)$. La ecuación general del plano es de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituimos los componentes del vector normal: $$0x + 1y + 1z + D = 0 \implies y + z + D = 0$$ Para hallar $D$, obligamos a que el plano pase por el punto $P(0, 1, 2)$: $$1 + 2 + D = 0 \implies 3 + D = 0 \implies D = -3$$ Por lo tanto, la ecuación del plano $\pi$ es: $$\boxed{y + z - 3 = 0}$$

**b) [1,25 p.] Calcule la distancia del punto $P$ al plano $x+y+z = 5$.** Para calcular la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $\alpha: Ax + By + Cz + D = 0$, utilizamos la fórmula: $$d(P, \alpha) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ En este caso, tenemos: - Punto $P = (0, 1, 2)$ - Plano $\alpha: x + y + z - 5 = 0$ (reordenamos para que sea igual a cero) Sustituimos los valores: $$d(P, \alpha) = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 - 5|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}}$$ $$d(P, \alpha) = \frac{|0 + 1 + 2 - 5|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \frac{|-2|}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$ Racionalizamos el resultado multiplicando numerador y denominador por $\sqrt{3}$: $$d(P, \alpha) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ unidades}$$ 💡 **Tip:** Asegúrate siempre de que la ecuación del plano esté en su forma general ($=0$) antes de aplicar la fórmula de la distancia. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{d(P, \text{plano}) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1,155 \text{ u}}$$