Integral indefinida y cálculo de primitiva

**a) [1 p.] Calcule la siguiente integral indefinida $\int x e^x dx$.** Para resolver esta integral, utilizaremos el método de **integración por partes**. La fórmula de integración por partes es: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ Elegimos las variables siguiendo la regla mnemotécnica ALPES (en este caso, la Polinómica antes que la Exponencial): - Sea $u = x \implies du = dx$ - Sea $dv = e^x dx \implies v = \int e^x dx = e^x$ Sustituimos en la fórmula: $$\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx$$ Resolvemos la integral restante: $$\int x e^x dx = x e^x - e^x + C$$ Podemos factorizar el término común $e^x$: $$(x-1)e^x + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al elegir $u$, buscamos una función que se simplifique al derivar, y para $dv$ una que sea fácil de integrar. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int x e^x dx = (x-1)e^x + C}$$

**b) [0,5 p.] Determine la primitiva de la función $f(x) = x e^x$ que pasa por el punto de coordenadas $(0,1)$.** Una primitiva $F(x)$ es la familia de funciones que hemos obtenido en el apartado anterior: $$F(x) = (x-1)e^x + C$$ El enunciado nos dice que la gráfica de la primitiva pasa por el punto $(0,1)$, lo que significa que cuando $x = 0$, el valor de la función debe ser $y = 1$. Es decir, debemos cumplir la condición $F(0) = 1$. Sustituimos los valores en la expresión de la primitiva: $$F(0) = (0-1)e^0 + C = 1$$ Como $e^0 = 1$, operamos: $$-1 \cdot 1 + C = 1$$ $$-1 + C = 1$$ $$C = 1 + 1 = 2$$ Por tanto, la constante de integración para esta primitiva específica es $C = 2$. 💡 **Tip:** El punto $(x_0, y_0)$ siempre impone que $F(x_0) = y_0$. Es el método estándar para hallar una primitiva única dentro de una familia de integrales indefinidas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{F(x) = (x-1)e^x + 2}$$